Cálculo Pré-Histórico: Descobrindo Pi

O pi é misterioso. Ok, você “sabe” que ele é por volta de 3.14159 porque você leu em algum livro. Mas e se você não tivesse nenhum livro, nem computadores, e nem cálculo (putz!) – só o seu cérebro e um pedaço de papel. Como você poderia encontrar o pi?

Arquimedes encontrou o pi com exatidão de 99.9% dois mil anos atrás – sem pontos decimais ou até o número zero! Melhor ainda, ele concebeu técnicas que se tornaram as fundações do cálculo. Queria ter aprendido sua descoberta de pi na escola – ela nos ajuda a entender o que faz o cálculo funcionar.

Como encontramos o pi?

Pi é a circunferência de um círculo de diâmetro 1. Como conseguimos esse número?

  • Diga que pi = 3 e se contente com isso.
  • Desenhe um círculo com a mão, enrole uma corda ao redor dele e meça com sua melhor régua.
  • Use a terceira porta.

O que tem atrás da terceira porta? Matemática!

Como Arquimedes fez?

Arquimedes não sabia a circunferência de um círculo. Mas ele não se preocupou e começou com o que ele sabia: o perímetro de um quadrado. (Na verdade ele usou hexágonos, mas quadrados são mais fáceis de se trabalhar e desenhar, então iremos com eles, ok?).

Não sabemos a circunferência de um círculo, mas vamos desenhar ela entre dois quadrados:

Nhanha

Bacana – É como uma pista de corrida com bordas interiores e exteriores. Qualquer que seja a circunferência, ela está em algum lugar entre os perímetros dos quadrados. Mais do que o de dentro, menos do que o de fora.

E já que quadrados são, bem, quadrados, nós encontramos seus perímetros facilmente:

  • Quadrado de fora (fácil): lado = 1, logo perímetro = 4
  • Quadrado de dentro (não tão fácil): a diagonal é 1 (de cima pra baixo). Usando o Teorema de Pitágoras, lado2 + lado2 = 1, logo o lado = raiz(1/2) ou lado = 0.7. O perímetro, então, é 0.7 * 4 = 2.8.

Podemos não saber onde está o pi, mas sabemos que o bicho está correndo entre 2.8 e 4. Digamos que está no meio, ou pi = 3.4.

Quadrados são bobos, o negócio é usar octógonos

Estimamos que pi = 3.4, mas honestamente estaríamos melhores com a corda e a régua. O que faz a nossa tentativa tão ruim?

Quadrados são ruins. Eles não encaixam bem no círculo, e os espaços vazios resultam em um cálculo cheio de erros. Mas aumentar os lados (usando o mítico octógono, talvez), pode nos dar um encaixe e palpite melhores.

T

Legal! Quanto mais aumentamos os lados, mais perto ficamos da figura do círculo.

Então, qual é o perímetro de um octógono? Não tenho certeza se aprendi essa fórmula. Enquanto estamos nessa, poderíamos usar um 16-ágono e um 32-do-decágono. Quais são os perímetros deles mesmo?

Vixe, essas são perguntas complicadas. Felizmente, Arquimedes usou trigonometria criativa para conceber fórmulas para o perímetro de uma forma quando você dobra o número de lados:

  • Perímetro interno:  Um segmento da parte de dentro (como o lado do quadrado) é sin(x/2), onde x é o ângulo abrangendo um lado. Por exemplo, um lado do quadrado de dentro é sin(90/2) = sin(45) ~ 0.7. O perímetro inteiro é, então, 4 * 0.7 = 2.8
  • Perímetro externo: Um segmento da parte de fora é tan(x/2), onde x é o ângulo abrangendo um lado. Então, um segmento do perímetro de fora é tan(45) = 1, para um perímetro total de 4.

Bacana – temos uma fórmula simples! Adicionar mais lados diminui o ângulo:

  • Quadrados têm um perímetro interno de 4*sin(90/2).
  • Octógonos têm oito ângulos de 45 graus, para um perímetro interno de 8*sin(45/2).

Faça o teste – um quadrado (lados=4) tem 91% de exatidão, e com um octógono (lados=8) nós pulamos para 98%!

Mas tem um problema: Arquimedes não tinha uma calculadora com um botão “seno”!

Ao invés, ele usou identidades trigonométricas para reescrever seno e cosseno em termos de seus valores anteriores:

  • Novo perímetro exterior: bec1a4b278accf07fe6c08d2eb8f25b9 copy [média harmônica]
  • Novo perímetro interior: ae1fb0b89cd44b048b31a97088156b7e copy[média geométrica]

Essas fórmulas só usam aritmética – sem nenhuma trigonometria. Já que começamos com números conhecidos como raiz(2) e 1, nós podemos repetidamente aplicar essa fórmula para aumentar o número de lados e conseguir um palpite melhor para pi.

Falando nisso, essas médias especiais aparecem em lugares estranhos, né? Não tenho um bom pensamento intuitivo sobre as identidades trigonométricas envolvidas, então vamos deixar essa batalha para outro dia.

Pondo a fórmula pra funcionar

Começando com 4 lados (um quadrado), nós abrimos nosso caminho pra um pi melhor (baixe a planilha):
Nhe

A cada rodada nós dobramos os lados e diminuímos o alcance onde o pi poderia estar se escondendo. Vamos assumir que pi está no meio do limite interior e exterior.

Depois de 3 passos (32 lados), já temos uma exatidão de 99.9%. Depois de 7 passos (512 lados) nós temos os aclamados “cinco noves”. E depois de 17 passos, ou meio milhão de lados, nosso palpite para pi alcança o limite do Excel. Sua técnica não é nada mal, Arquimedes!

Infelizmente, decimais não tinham sido inventados em 250 AC, imagine planilhas. Então Arquimedes teve que dar seu jeito usando frações. Ele começou com hexágonos (6 lados) e continuou para 12, 24, 28, 96 até que ele tivesse suficiente (já tentou tirar raízes usando só frações?). Sua estimativa final para pi, usando uma figura de 96 lados, era:

d27014a4f9d58cfc4bfaefca7e93f8bf

O ponto do meio coloca pi em 3.14185, que é exato a mais de 99,9%.

Se você gosta de frações, a fração misterioramente simétrica 355/133 é uma estimativa extremamente precisa (99.99999%) de pi e foi a melhor que a humanidade teve por quase um milênio.

Algumas pessoas usam 22/7 para pi, mas agora você pode rir dizendo “22/7 é meramente o limite superior encontrado por Arquimedes 2000 anos atrás!”, enquanto ajusta seu monóculo.

Existem até fórmulas melhores por aí, também.

Onde está o cálculo?

Arquimedes não estava “fazendo cálculo”, mas ele contribuiu para o desenvolvimento de sua base: comece com um modelo rude (quadrados imitando um círculo) e refine-o.

O cálculo gira em torno destes temas:

  • Nós não sabemos a resposta, mas temos um palpite. Tivemos um palpite para pi: em algum lugar entre 2.8 e 4. O cálculo tem vários conceitos como a Série de Taylor para construir um palpite com variados graus de exatidão.
  • Vamos melhorar nosso palpite. Arquimedes descobriu que adicionar lados melhorou a estimativa. Existem métodos numéricos para refinar a fórmula de novo e de novo. Por exemplo, computadores podem começar com um palpite rude para a raiz quadrada e melhorá-lo.
  • Você pode corer mas não se esconder. Nós não sabíamos exatamente onde estava o pi, mas o encurralamos entre dois limites. Enquanto nós encolhemos os limites externos, nós sabíamos que o π estava se escondendo algum lugar lá dentro. Isso é conhecido formalmente como o “Teorema do Confronto“.
  • Pi é um ideal inalcançável. Encontrar o pi é um processo que nunca acaba. Quando vemos “π” na verdade significa “Quer perfeição? Bacana – todos querem alguma coisa. Só comece a aproximar e pare quando pi for bom suficiente”.

Direi novamente: Bom suficiente é bom suficiente. Uma figura com 96 lados foi exata suficiente para qualquer coisa que Arquimedes precisou de construir.

A ideia de que “aproximação importa” é estranha – a matemática não deveria ser precisa? A matemática é um modelo para descrever o mundo. Nossas equações não precisam ser afiadas como uma navalha se o universo e nossos instrumentos são imprecisos.

Lições de vida

Até na matemática podem ter lições de vida escondidas. Às vezes o melhor é o inimigo do bom. Perfeccionismo (“Eu quero o valor exato de pi!”) pode te impedir de achar resultados bons e usáveis.

Seja fazendo estimativas ou escrevendo software, talvez você possa começar com uma versão grosseira e melhorá-la com o tempo, sem se preocupar com o modelo perfeito (funcionou pra Arquimedes!). A maior parte da exatidão vem dos passos iniciais, e refinamentos futuros podem ser muito trabalho pra pouco ganho (o Princípio de Pareto em ação).

Ironicamente, as técnicas “rudes” vistas aqui levaram ao cálculo, que por sua vez levou a melhores fórmulas para o pi.

Lições de matemática

No cálculo muitas vezes falta uma base intuitiva – podemos contar maçãs pra testar aritmética, mas é difícil pensar sobre equações abstratas que são repetidamente refinadas.

A descoberta de pi de Arquimedes é um exemplo vívido e concreto pra nossa caixa de ferramentas. Assim como a geometria refina a nossa intuição sobre linhas e ângulos, o cálculo refina as regras de equações que ficam melhores com o tempo. Exemplos como esse nos ajudam a usar a intuição como ponto inicial, ao invés de aprender novas ideias em um vácuo.

Mais tarde, discutiremos o que significa estar “perto suficiente” pros números. Só se lembre que 96 lados foram bons suficiente para Arquimedes, e meio milhão de lados é bom suficiente pro Excel. Todos temos nossos limites.

(Tradução livre deste artigo, do Better Explained)

Uma introdução intuitiva aos limites

Limites, uma das Fundações do Cálculo, parecem tão artificiais e enganadores: “Deixe x se aproximar de 0, mas não chegar lá, e ainda assim vamos agir como se tivesse chegado”. Ugh.

É assim que aprendi a gostar deles:

  • O que é um limite? Nossa melhor previsão de um ponto que não observamos
  • Como fazemos uma previsão? Dando um zoom nos pontos vizinhos. Se nossa previsão estiver sempre no meio dos pontos vizinhos, não importa de quanto seja o zoom, essa é nossa estimativa.
  • Por que precisamos de limites? A matemática tem cenários de “buraco negro” (dividir por zero, ir até o infinito), e limites nos dão uma estimativa razoável.
  • Como sabemos que estamos certos? Não sabemos. Nossa previsão, o limite, não precisa condizer com a realidade. Mas, para a maioria dos fenômenos naturais, parece condizer.

Limites nos permitem perguntar “E se?”. Se nós podemos observar diretamente uma função em um valor (como x=0, ou x crescendo infinitamente), nós não precisamos de uma previsão. O limite pensa consigo mesmo: “Se você consegue ver tudo com exceção de um único valor, o que você pensa que tem lá?”.

Quando nossa previsão é consistente e melhora quanto mais aproximamos nela, nos sentimos confiantes dela. E, se a função se comporta de forma suave, como a maioria das funções do mundo real, o limite é onde o ponto faltando deve estar.

Analogia Chave: prevendo uma bola de futebol

Finja que você está vendo um jogo de futebol. Infelizmente, o sinal está ruim.

soccer-limits

Argh! Nós perdemos o que aconteceu nos 4:00. Mesmo assim, qual é a sua previsão para a posição da bola?

Fácil. Só pegue os instantes vizinhos (3:59 e 4:01) e preveja que a bola vai estar em algum lugar no meio deles.

E… funciona! Objetos na vida real não teleportam; eles se movem através de posições intermediárias ao longo de seus caminhos de A até B. Nossa previsão é “No momento 4:00, a bola estava no meio de suas posições em 3:59 e 4:01”. Nada mal.

Com uma câmera slow-motion, podemos até dizer “No momento 4:00, a bola estava no meio de suas posições em 3:59.999 e 4:00.001″.

Nossa previsão parece sólida. Podemos articular por quê?

  • As previsões concordam em níveis crescentes de zoom. Imagine que o alcance de 3:59-4:01 fosse de 9.9-10.1 metros, mas após aproximar em 3:59.999-4:00.001, o alcance aumentou para 9-12 metros. Oh! Aproximar deveria encolher nossa estimativa, não piorá-la! Nem todo nível de zoom precisa ser preciso (imagine ver o jogo a cada 5 minutos), mas, para se sentir confiante, deve haver um limiar onde zooms subsequentes só fortalecem o alcance de nossa estimativa.
  • O antes-e-depois devem concordar. Imagine que aos 3:59 a bola estava aos 10 metros, rolando pra direita, e nos 4:01 ela estava aos 50 metros, rolando pra esquerda. O que aconteceu? Nós tivemos um pulo do nada (a câmera mudou?) e agora não podemos acertar a posição da bola. Quem estava com a bola em 4:00? Essa ambiguidade quebra nossa habilidade de fazer uma previsão confiável.

Com esses pré-requisitos em prática, podemos dizer “Nos 4:00, a bola estava nos 10 metros. Essa estimativa é confirmada pelo nosso zoom inicial (4:59-4:01, que estima 9.9 a 10.1 metros) e o seguinte (3:59.999-4:00.001, que estima 9.999 a 10.001 metros)”.

Limites são uma estratégia para fazer previsões confiáveis.

Explorando a intuição

Vamos deixar as definições matemáticas de lado por enquanto. Para que coisas, no mundo real, queremos uma previsão mas não conseguimos medir facilmente?

Qual é a circunferência de um círculo?

Achar pi “experimentalmente” é duro: precisamos de uma corda e uma régua?

Não podemos medir uma forma que aparenta ter infinitos lados, mas podemos nos perguntar “há uma previsão para o valor de pi que vai estar sempre precisa quanto mais nós aumentarmos os lados?”

Arquimedes descobriu que pi tem um alcance de:

31fc9b622525a9d79d4afff1a891db6b

Usando um processo assim:

T

Foi o precursor do cálculo: ele determinou que pi era um número que ficava entre fronteiras que sempre se encolhiam. Hoje em dia, nós temos definições modernas de limites para pi.

Com o que se parece o crescimento contínuo?

e, um dos meus números preferidos, pode ser definido assim:

d306e5a95dde600d0106ccf8d63a2805

Lalala

Não podemos medir facilmente o resultado de um crescimento infinitamente composto. Mas, se nós pudéssemos fazer uma previsão, existe uma taxa que seria eternamente precisa? Parece estar por volta de 2,71828…

Podemos usar figuras simples pra medir as complexas?

Círculos e curvas são difíceis de medir, mas retângulos são fáceis. Se pudéssemos usar um número infinito de retângulos para simular uma área curvada, podemos conseguir um resultado que aguente um zoom infinito? (Talvez nós possamos achar a área de um círculo)

Blog-3

Podemos achar a velocidade em um instante?

A velocidade é engraçada: ela precisa de uma medição antes-e-depois (distância viajada/tempo que levou), mas não podemos ter uma velocidade em instantes individuais? Hmm.

Limites nos ajudam a responder esse enigma: prever sua velocidade quando viajando para um instante vizinho. E então faça a “pergunta impossível”:  qual é a sua previsão de velocidade quando o espaço para o instante vizinho é zero?

Nota: o limite não é uma cura mágica para qualquer doença. Não podemos assumir que um existe e pode não existir uma resposta para toda pergunta. Por exemplo: a quantidade de inteiros é par ou ímpar? A quantidade é infinita, e nem a previsão “par” nem a “ímpar” continuam precisas enquanto nós contamos mais além. Não existe uma previsão bem fundamentada.

Para pi, e, e outras fundações do cálculo, mentes espertas fizeram as provas para determinar que “Sim, nossos valores previstos ficam mais precisos quanto mais perto olhamos”. Agora vejo por que limites são tão importantes: eles são um carimbo de aprovação nas nossas previsões.

A Matemática: a definição formal de um limite

Limites são previsões bem fundamentadas. Aqui está nossa definição oficial:

e5f5ada24c028ce96f11dd07d9ac4f92

significa que para todo ε real tal que ε > 0 existe um δ real tal que δ > 0 tal que para todo x com 0 < |x − c| < δ, nós temos|f(x) − L| < ε

Vamos deixar isso legível:

PORTUGUÊS MATEMÁTICO PORTUGUÊS HUMANO
\displaystyle{ \lim_{x \to c}f(x) = L } significa que
quando nós “prevemos” que f(c) = L, queremos dizer que
para todo ε real tal que ε > 0 para qualquer margem de erro que quisermos (+/- 0.1 metros)
existe um δ real tal que δ > 0 existe um nível de zoom (+/- 0.1 segundos)
tal que para todo x com 0 < |x − c| < δ, nós temos |f(x) − L| < ε onde a previsão permanece precisa dentro da margem de erro

Há algumas sutilezas aqui:

  • O nível de zoom (delta, δ) é a entrada da função, por ex.: o tempo no vídeo
  • A margem de erro (epsilon, ε) é o máximo que a saída da função (a posição da bola) pode diferir de nossa posição ao longo do nível de zoom
  • A condição do valor absoluto (0 < |x − c| < δ) significa que deve funcionar pra desalinhamentos positivos e negativos, e que estamos pulando o buraco negro em si (quando |x – c| = 0)

Não podemos avaliar a entrada que é o “buraco negro”, mas podemos dizer que “com exceção do ponto faltando, qualquer nível de zoom confirma a previsão f(c) = L”. E nos sentimos confiantes porque f(L) continua funcionando para qualquer margem de erro que encontrarmos.

Poderíamos fazer previsões múltiplas? Imagine que prevemos L1 e L2 para f(c). Existe alguma diferença entre eles (chame-a de 0.1), logo existe uma margem de erro (0.01) que revelaria qual é o mais preciso. Toda saída da função no alcance não pode estar dentro de 0.01 em ambas previsões. Ou nós temos uma previsão única, infinitamente precisa, ou não temos.

Sim, podemos ser fofos e pedir o “limite pela esquerda” (previsão de antes do evento) e o “limite pela direita” (previsão de depois do evento), mas só temos um limite real quando eles concordam.

Uma função é contínua quando ela sempre corresponde ao valor da previsão (e descontínua se não):

\displaystyle{\lim_{x \to c}{f(x)} = f(c)}

O cálculo tipicamente estuda funções contínuas, jogando o jogo de “estamos fazendo previsões, mas só porque sabemos que estarão certas.”

A Matemática: mostrando que o limite existe

Temos os pré-requisitos para uma previsão sólida. As questões que te pedem para “provar que o limite existe” te pedem para justificar sua estimativa.

Por exemplo: prove que o limite a x=2 existe para

\displaystyle{f(x) = \frac{(2x+1)(x-2)}{(x - 2)}}

A primeira checagem: será que precisamos de um limite? Infelizmente, precisamos: só colocar “x=2” significaria uma divisão por zero. Maldição.

Mas, intuitivamente, vemos que o mesmo “zero” (x – 2) pode ser cancelado da parte de cima e da de baixo. É assim que se dança esse tango perigoso:

  • Assuma que x está em qualquer lugar com exceção de 2 (Deve estar! Estamos fazendo uma previsão por fora)
  • Podemos então cancelar (x – 2) da parte de cima e de baixo, já que não é zero.
  • Nos resta f(x) = 2x + 1. Essa função pode ser usada fora do buraco negro.
  • O que essa função mais simples prevê? Que f(2) = 2*2 + 1 = 5.

Então f(2) = 5 é a nossa previsão. Mas você viu a sacada? Nós fingimos que x não era 2 [para tirar o (x-2) da divisão], e colocamos o 2 de volta depois que esse item problemático saiu! Pense nisso dessa forma: nós simplesmente usamos o comportamento da parte de fora do evento para prever o comportamento notável no evento.

Podemos provar que essas travessuras dão uma previsão sólida, e que f(2) = 5 é infinitamente preciso.

Para qualquer limite de precisão (ε), precisamos achar o “alcance de zoom” (δ) onde permanecemos dentro da precisão dada. Por exemplo, podemos manter a estimativa entre +/- 1.0?

Claro. Precisamos descobrir onde

\displaystyle{|f(x) - 5| < 1.0}

E então

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> \begin{align*}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |2x + 1 - 5| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |2x - 4| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |2(x - 2)| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> 2|(x - 2)| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |x - 2| &< 0.5<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> \end{align*}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

Em outras palavras, x deve estar dentro de 0.5 de 2 para manter o pré-requisito de precisão inicial de 1.0.

De fato, quando x está entre 1.5 e 2.5, f(x) vai de f(1.5) = 4 para f(2.5) = 6, ficando +/- 1.0 do nosso valor previsto de 5.

Podemos generalizar a qualquer tolerância de erro (ε) usando para 1.0 acima. Conseguimos:

\displaystyle{|x - 2| < 0.5 \cdot \epsilon}

Se nosso nível de zoom é “δ = 0.5 * ε”, ficaremos dentro do erro original. Se nosso erro é 1.0 nós precisamos ampliar para 0.5; se é 0.1, precisamos ampliar para 0.05.

Essa função simples foi um exemplo conveniente. A ideia é começar com a restrição inicial (|f(x) – L| < ε), inserir f(x) e L, e resolver para a distância em relação ao ponto do buraco negro (|x – c| < ?). Costuma ser um exercício de álgebra.

Algumas vezes te pedem para somente encontrar o limite (colocar 2 e receber f(2) = 5), outras vezes pedem para provar que ele existe, ou seja, ligar a marcha na álgebra do epsilon-delta.

Trocando Zero e Infinito

Infinito, quando usado em um limite, significa “cresce sem parar”. O símbolo ∞ é tão “número” quanto a frase “cresce sem parar” ou “meu estoque de cuecas está acabando”. Eles são conceitos, não números (para nosso nível de matemática, claro, Aleph).

Quando usamos ∞ em um limite, estamos perguntando: “Enquanto x cresce sem parar, podemos fazer uma previsão que permanece precisa?”. Se existe um limite, significa que o valor da previsão é sempre confirmado, não importando quão longe nós olhamos.

Mas eu ainda não gosto do infinito porque eu não posso vê-lo. Mas eu posso ver zero. Com limites, você pode reescrever

\displaystyle{\lim_{x \to \infty}}

como

\displaystyle{\lim_{\frac{1}{x} \to 0}}

Você pode ir mais além e definir y = 1/x, substituir itens na sua fórmula, e aí usar o seguinte para que pareça uma fórmula normal de novo:

\displaystyle{\lim_{y \to 0^+}}

(Nota de Tim: o limite está vindo da direita, já que x estava indo pro infinito positivo).

Eu prefiro esse arranjo, porque posso ver o lugar onde estamos aproximando (o papel aqui sempre acaba quando tento colocar a versão infinita num gráfico :-().

Por que limites não são usados com mais frequência?

Imagine uma criança que descobriu que “colocar um zero no final” faz de um número 10x maior. Tem 5? Escreva “5” e “0”, ou 50. Tem 100? Transforme-o em 1000. E assim em diante.

Ele não descobriu como a multiplicação funciona, por que essa regra é justificada… mas, você tem que admitir, ele com certeza pode multiplicar por 10. Claro que existem casos específicos (0 viraria “00”?), mas funciona bem na maioria das vezes.

As regras do cálculo foram descobertas informalmente (por padrões modernos). Newton deduziu que “A derivada de x^3 é 3x^2″ sem justificativa rigorosa. Ainda assim motores rodam e aviões voam baseados nos seus resultados não oficiais.

O erro da pedagogia do cálculo é criar um bloqueio na estrada dizendo “Você deve conhecer Limites™ antes de apreciar o cálculo”,  quando é evidente que os inventores do cálculo não conheciam. Eu prefiro essa progressão:

  • O Cálculo faz perguntas que parecem impossíveis: Quando é que retângulos podem medir uma curva? Podemos detectar mudança instantânea?
  • Limites nos dão uma estratégia para responder perguntas “impossíveis” (“Se você pode fazer uma previsão que aguenta um zoom infinito, diremos que está ok”)
  • Eles são um ótimo time: O cálculo explora, os limites verificam. Nós memorizamos atalhos para os resultados que verificamos com limites (d/dx x^3 = 3x^2), assim como memorizamos atalhos para as regras que verificamos com multiplicação (adicionar um zero significa vezes 10). Mas ainda é bom saber por que os atalhos são justificados.

Limites não são a única ferramenta para checar respostas de perguntas impossíveis; infinitésimos funcionam também. A chave é entender o que estamos tentando prever e depois aprender as regras para fazer previsões.

Matemática feliz.

(Tradução livre deste artigo, do BetterExplained)

Como entender derivadas: as regras do Produto, da Potência e da Cadeia

A mistura confusa de regras pra tirar derivadas nunca fez sentido de verdade pra mim. A regra da adição, do produto, do quociente – como elas se encaixam? Aliás, o que nós estamos tentando fazer?

Isso é o que penso sobre derivadas:

  • Temos um sistema para analisar, nossa função f
  • A derivada f’, (também conhecida como df/dx) é o comportamento de momento-a-momento
  • Acontece que f é uma parte de um sistema maior (h = f + g)
  • Usando o comportamento das partes, podemos descobrir o comportamento do todo?

Sim. Toda parte tem um “ponto de vista” sobre quanta mudança ela adicionou. Você combina cada ponto de vista para descobrir o comportamento geral.
Cada regra de derivação é um exemplo de como juntar vários pontos de vista.

E por que nós não analisamos o sistema inteiro de uma vez só? É a mesma razão pela qual você não come um hamburguer em uma mordida só: partes menores são mais fáceis de assimilar.

Ao invés de memorizar regras separadas, vejamos como elas se encaixam:

Blog-14

Funções: Qualquer coisa menos gráficos

A explicação padrão do cálculo escreve “f(x) = x²″ e enfia um gráfico na sua cara. Isso realmente ajuda a nossa intuição?

Não pra mim. Gráficos espremem a entrada e saída em uma curva única, e escondem a maquinaria que transforma um no outro. Mas as regras de derivadas são sobre a maquinaria, então vamos vê-la!

Eu visualizo uma função como o processo “entrada(x) => f => saída(y)”.

simple function

Não sou só eu. Cheque este incrível computador mecânico.

A máquina computa funções como adição e multiplicação com mecanismos – você pode ver a mecânica se desdobrando!

simple function

Pense na função f como uma máquina com uma alavanca de entrada “x” e uma alavanca de saída “y”. A medida que ajustamos x, f define a altura de y. Outra analogia: x é o sinal de entrada, f o recebe, faz uma mágica e retorna o sinal y. Use qualquer analogia que te ajude a entender.

Mexendo e remexendo

A derivada é o comportamento “momento-a-momento” da função. O que isso significa? (E não murmure “a derivada é a inclinação” sem pensar antes. Você tá vendo algum gráfico por aqui, colega?)

A derivada é quanto se mexe. A alavanca está em x, nós “mexemos” nela e vemos em quanto y se altera. “Oh, nós movemos a alavanca de entrada em 1mm, e a de saída se moveu 5mm. Interessante.”

O resultado pode ser escrito como “variação na saída por variação na entrada”  ou “dy/dx” (5mm/1mm = 5, no nosso caso). Isso é normalmente uma fórmula, não um valor estático, porque pode depender da sua configuração de entrada atual.

Por exemplo, quando temos f(x) = x², a derivada é 2x. Sim, você já decorou isso. E o que significa?

Se nossa alavanca de entrada está em x = 10 e nós mexemos um pouquinho nela (movendo por dx=0.1 para 10.1), a saída deverá mudar por dy. Quanto, exatamente?

  • Sabemos que f’(x) = dy/dx = 2*x
  • Em x = 10 a “variação na saída por variação na entrada” é = 2*10 = 20. A saída move em 20 unidades para cada unidade de movimento de entrada.
  • Se dx = 0.1, então dy = 20*dx = 20*0.1 = 2

E, de fato, a diferença entre 10² e (10.1)² é por volta de 2. A derivada estimou pra quão longe a alavanca de saída se moveria (uma alteração perfeita e infinitamente pequena moveria 2 unidades; nós movemos 2.01)

A chave para entender as regras de derivação:

  • Configure seu sistema
  • Mexa cada parte do sistema separadamente, veja em quanto a saída se move
  • Combine os resultados

A alteração total é a soma das alterações de cada parte.

Adição e Subtração

Chegou a hora de fazer nosso primeiro sistema:

\displaystyle{h(x) = f(x) + g(x) }

derivative addition

O que acontece quando a entrada (x) muda?

Na minha cabeça, eu penso: “A função h recebe uma única entrada. Ela envia a mesma entrada para f e g e adiciona as alavancas de saída. f e g variam independentemente e uma nem sabe sobre a outra!”

A função f sabe que vai contribuir alguma variação (df), g sabe que vai contribuir alguma variação (dg) e nós, ávidos observadores que somos, sabemos que seus comportamentos momento-a-momento são adicionados:

\displaystyle{dh = df + dg}derivative addition

Vamos descrever cada “ponto de vista” denovo:

  • O sistema geral tem comportamento dh
  • Da perspectiva de f, ele contribui df para o todo [f não sabe sobre g]
  • Da perspectiva de g, ele contribui dg para o todo [g não sabe sobre f]

Toda mudança em um sistema se deve a alguma parte mudando (f e g). Se adicionarmos as contribuições de cada variável possível, nós descrevemos o sistema inteiro.

df vs df/dx

Algumas vezes usamos df, outras df/dx — o que acontece? (Isso me confundiu por um tempo)

  • df é a noção geral de “quanto f mudou”
  • df/dx é a noção específica de “quanto f mudou, em termos de quanto x mudou”

O “df” genérico nos ajuda a ver o comportamento geral.

Uma analogia: imagine que você está fazendo uma grande viagem e gostaria de medir a eficiência de combustível do seu carro. Você mediria a distância viajada, checaria seu tanque para ver quanto gás você usou e finalmente faria a divisão para computar os “km’s por litro”. Você mediu a distância e a gasolina separadamente – você não precisou entrar no tanque de gasolina pra descobrir a taxa.

No cálculo, às vezes queremos pensar sobre a mudança em si, e não a taxa. Trabalhar ao nível “df” nos dá espaço para pensar sobre como a função se altera em geral. Podemos eventualmente reduzi-la em termos de uma entrada específica.

E nós faremos isso agora. A regra da adição acima pode ser escrita em termos “por dx”, como:

\displaystyle{\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}}

Multiplicação (Regra do Produto)

Próximo quebra-cabeças: suponha que nosso sistema multiplica as partes “f” e “g”. Como ele se comporta?

\displaystyle{h(x) = f(x) \cdot g(x)}

Hmm, complicado – as partes estão interagindo de forma mais próxima. Mas a estratégia é a mesma: ver como cada parte contribui de seu ponto de vista, e combinar elas:

  • Mudança total em h = contribuição de f (do ponto de vista de f) + contribuição de g (do ponto de vista de g)

Cheque esse diagrama:

derivative product rule

O que está acontecendo?

  • Temos nosso sistema: f e g são multiplicados, resultando em h (área do retângulo)
  • A entrada “x” muda de acordo com dx na distância. f muda por alguma quantidade df (pense em mudança absoluta, não a taxa!). Semelhantemente, g muda de acordo com sua quantidade dg. Porque f e g mudaram, a área do retângulo muda também.
  • Qual é a mudança da área do ponto de vista de f? Bem, f sabe que mudou por df, mas não tem ideia do que aconteceu com g. Da perspectiva do f’s, ele é o único que moveu e vai adicionar um pedaço de área = df * g
  • Similarmente, g não sabe quanto f mudou, mas sabe que ele vai adicionar um pedaço de área “dg * f”

A mudança total no sistema (dh) são os dois pedaços de área:

\displaystyle{dh = f \cdot dg + g \cdot df}

Agora, como em nosso exemplo dos km’s por litro, nós “dividimos por dx” para escrever isso em termos de quanto x mudou:

\displaystyle{\frac{dh}{dx} = f \cdot \frac{dg}{dx} + g \cdot \frac{df}{dx}}

(Nota: dividir por dx? Engenheiros vão consentir, matemáticos vão reprovar. Tecnicamente, df/dx não é uma fração: é a operação inteira de tirar a derivada (com o limite e todo o resto). Mas em termos de infinitesimais e do que é melhor para a intuição, estamos “alterando por dx”)

A chave da regra do produto: adicione duas “lascas”, uma de cada ponto de vista.

Saquei, mas não tem um efeito dos dois mudando simultaneamente (df * dg)?

Sim. No entanto, essa área é um infinitésimo * infinitésimo (um “infinitésimo de 2a ordem”) e indivisível ao nível atual. É um conceito complicado, mas (df*dg)/dx desaparece comparado a derivadas normais como df/dx. Nós variamos f e g independentemente e combinamos os resultados, ignorando o resultado delas movendo juntas.

A Regra da Cadeia não é tão ruim quanto parece

Digamos que g depende f, que depende de x:

\displaystyle{y = g(f(x))}derivative product rule

A regra da cadeia nos deixa “aproximar” em uma função e ver quanto uma alteração inicial (x) pode afetar no resultado final mais além (g).

Interpretação 1: Converter as taxas

Uma interpretação comum é multiplicar as taxas:

\displaystyle{\frac{dg}{dx} = \frac{dg}{df} \cdot \frac{df}{dx}}

x altera f. Isso cria uma taxa de mudança de df/dx, que altera g por dg/df. Então a alteração é:

\displaystyle{\frac{dg}{df} \cdot \frac{df}{dx}}

Isso é semelhante ao método do “Fator Unitário” da química:

\displaystyle{\frac{miles}{second} = \frac{miles}{hour} \cdot \frac{1 \ hour}{60 \ minutes} \cdot \frac{1 \ minute}{60 \ seconds} = \frac{miles}{hour} \cdot \frac{1}{3600}}

Se sua taxa de “km’s por segundo” muda, multiplique pelo fator de conversão para descobrir o novo “km por hora”. O segundo não sabe sobre a hora diretamente — ele vai através da conversão segundo => minuto.

Semelhantemente, g não sabe sobre x diretamente, só f. A função g sabe que deve escalar sua entrada por dg/df para descobrir a saída. A taxa inicial (df/dx) é modificada enquanto sobe na cadeia.

Interpretation 2: Converter as alterações

Prefiro ver a regra da cadeia em termos de “por variação”:

  • x se altera por dx, so
  • f se altera por df, so
  • g se altera por dg

Legal. Mas como eles são relacionados de verdade? Oh, sim, a derivada! (É a variação na saída por variação na entrada):

\displaystyle{df = dx \cdot \frac{df}{dx}}

Lembre-se, a derivada de f (df/dx) é quanto escalar a alteração inicial. E o mesmo acontece com g:

\displaystyle{dg = df \cdot \frac{dg}{df}}

Ele vai escalar qualquer mudança que vier em sua alavanca de entrada (f) por dg/df. Se escrevemos a variação df em termos de dx:

\displaystyle{dg = (dx \cdot \frac{df}{dx}) \cdot \frac{dg}{df}}

Temos uma outra versão da regra da cadeia: dx começa a cadeia, que resulta em algum resultado final dg. Se queremos a alteração final em termos de dx, dividimos ambos os lados por dx:

\displaystyle{\frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dg}{df}}

A regra da cadeia não é só cancelar unidades pelo Fator Unitário – é a propagação da variação, que é ajustada a cada passo.

A regra da cadeia funciona para várias variáveis (a depende de b, que depende de c), só propague a variação a cada passo.

Tente imaginar uma “ampliação” no ponto de vista de diferentes variáveis. Começando por dx e olhando pra cima, você vê a cadeia inteira de transformações necessárias até que o impulso chegue em g.

Regra da Cadeia: hora do exemplo

Digamos que nós temos uma “máquina de fazer quadrados” na frente de uma “máquina de fazer cubos”:

entrada(x) => f:x^2 => g:f^3 => saída(y)

f:x^2 significa que f eleva sua entrada ao quadrado. g:f^3 significa que g eleva sua entrada (o valor de f) ao cubo. Por exemplo:

entrada(2) => f(2) => g(4) => saída(y) = 64

Comece com 2, f eleva ao quadrado (2^2 = 4), e g eleva isso ao cubo (4^3 = 64). É uma máquina de elevar à sexta potência:

\displaystyle{g(f(x)) = (x^2)^3}

E qual a derivada?

\displaystyle{ \frac{dg}{dx} = \frac{dg}{df} \cdot \frac{df}{dx}}

  • f altera sua variação de entrada por df/dx = 2x
  • g altera sua variação de entrada por dg/df = 3f^2

A mudança final é:

\displaystyle{3f^2 \cdot 2x = 3(x^2)^2 \cdot 2x = 3x^4 \cdot 2x = 6x^5}

Regra da Cadeia: Sacadas

Functions treat their inputs like a blob

In the example, g’s derivative (“x^3 = 3x^2″) doesn’t refer to the original “x”, just whatever the input was (foo^3 = 3*foo^2). The input was f, and it treats f as a single value. Later on, we scurry in and rewrite f in terms of x. But g has no involvement with that — it doesn’t care that f can be rewritten in terms of smaller pieces.

Em muitos exemplos, a variável “x” é o “fim da linha”.

Questions ask for df/dx, i.e. “Give me changes from x’s point of view”. Now, x could depend on something deeper variable, but that’s not being asked for. It’s like saying “I want miles per hour. I don’t care about miles per minute or miles per second. Just give me miles per hour”. df/dx means “stop looking at inputs once you get to x”.

How come we multiply derivatives with the chain rule, but add them for the others?

The regular rules are about combining points of view to get an overall picture. What change does f see? What change does g see? Add them up for the total.

The chain rule is about going deeper into a single part (like f) and seeing if it’s controlled by another variable. It’s like looking inside a clock and saying “Hey, the minute hand is controlled by the second hand!”. We’re staying inside the same part.

Sure, eventually this “per-second” perspective of f could be added to some perspective from g. Great. But the chain rule is about diving deeper into “f’s” root causes.

Regra da Potência: Muito memorizada, pouco entendida

Qual a derivada de x^4? 4x^3? Ótimo. Você trouxe o expoente pra baixo e subtraiu um. Agora explique por quê!

Hrm. Existem algumas abordagens, mas essa é a minha preferida: x^4 na verdade é x * x * x * x. É a multiplicação de 4 variáveis “independentes”. Cada x não sabe sobre os outros, poderia igualmente ser x * u * v * w.

Agora pense sobre o ponto de vista do primeiro x:

  • Ele se altera de x para x + dx
  • A mudança na função geral é [(x + dx) – x][u * v * w] = dx[u * v * w]
  • A mudança em termos “por dx” é [u * v * w]

Semelhantemente,

  • Do ponto de vista de u, ele se altera por du. Ele contribui (du/dx)*[x * v * w] em termos “por dx”
  • v contribui (dv/dx) * [x * u * w]
  • w contribui (dw/dx) * [x * u * v]

As cortinas se abrem: x, u, v, e w são o mesmo! O fator de conversão dos “pontos de vista” é 1 (du/dx = dv/dx = dw/dx = dx/dx = 1), e a mudança total é:

\displaystyle{(x \cdot x \cdot x) + (x \cdot x \cdot x) + (x \cdot x \cdot x) + (x \cdot x \cdot x) = 4 x^3}

Em uma frase: a derivada de x^4 é 4x^3 porque x^4 tem quatro “pontos de vista” idênticos que estão sendo combinados. Agora sim!

Retome o fôlego

Espero que você esteja vendo a derivada sob uma nova ótica: nós temos um sistema de partes, mexemos na nossa entrada e vemos como a coisa toda se move. Tem a ver com combinar perspectivas: o que cada parte adiciona no todo?

Nos próximos artigos, olharemos regras ainda mais poderosas (expoentes, quocientes e amigos). Matemática feliz.

Um guia intuitivo e visual para números imaginários

Números imaginários sempre me confundiram. É como entender “e”, a maioria das explicações caem em uma das duas categorias:

  • É uma abstração matemática e as equações funcionam. Lide com isso.
  • É usado em física avançada, confie em nós. Espere até a faculdade.

Poxa, que ótima forma de encorajar a matemática nas pessoas! Hoje vamos assaltar esse tópico com as nossas ferramentas preferidas:

  • Focar em relações e não em fórmulas mecânicas
  • Ver números complexos como um upgrade do nosso sistema numérico, como o zero, os decimais e os negativos foram
  • Usar diagramas visuais, não somente texto, para entender a ideia

E a nossa arma secreta: aprendizado por analogia. Iremos entender números imaginários observando seu antecessor, os negativos. Aqui vai seu guia:

Captura de Tela 2014-12-04 às 19.54.34

Não faz sentido ainda, mas aguenta aí. Até o fim deste artigo vamos caçar o “i” e dar-lhe uma chave de pescoço, ao invés do contrário.

Passo-a-Passo (EN):

Entendendo números negativos de verdade

Números negativos não são fáceis. Imagine que você é um matemático europeu no século 1700. Você tem 3 e 4 e sabe que pode escrever 4 – 3 = 1. Simples.

Mas e 3 – 4? O que, exatamente, isso significa? Como você pode tirar 4 vacas de 3? Como você pode ter menos que nada?

Negativos já foram considerados um absurdo, algo que “escurecia inteiras doutrinas de equações” (Francis Maseres, 1759). Ainda assim, hoje, seria absurdo pensar que os negativos não são lógicos ou úteis. Experimente perguntar ao seu professor se os negativos corrompem os fundamentos da matemática.

O que aconteceu? Nós inventamos um número teórico que tinha propriedades úteis. Negativos não são algo que podemos tocar ou segurar, mas eles descrevem bem certos relacionamentos (como a dívida). Era uma ficção útil.

Ao invés de dizer “eu te devo 30” e ler as palavras para ver se sou devedor ou credor, eu posso escrever “-30” e saber que isso significa que eu estou na pior. Se eu ganhar dinheiro e pagar as minhas dívidas (-30 + 100 = 70), eu posso registrar a transação facilmente. Tenho +70 depois, o que significa que eu estou livre da dívida.

Os sinais positivos e negativos acompanham a direção automaticamente – você não precisa de uma frase para descrever o impacto de cada transação. A matemática se tornou mais fácil, mais elegante. Não importava se os negativos eram “tangíveis” ou não – eles tinham propriedades úteis, e nós utilizamos eles até que se tornaram itens de uso diário. Hoje você chamaria alguém por nomes obscenos se a pessoa não “entendesse” os negativos.

Mas não vamos subestimar a luta: os números negativos foram uma grande mudança mental. Mesmo Euler, o gênio que descobriu “e e muito mais, não entendia negativos como nós entendemos hoje. Eles foram considerados resultados “sem sentido” (ele compensou por isso mais tarde em grande estilo).

É um testemunho do nosso potencial mental que se espera das crianças de hoje que compreendam ideias que uma vez confundiram matemáticos antigos.

Adentrando os números imaginários

Números imaginários têm uma história semelhante. Podemos resolver equações assim o dia todo:

a9689703566da06418cfde37ae65ff48

As respostas são 3 e -3. Mas suponha que um espertinho adicione um discreto sinal de menos:

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Oh. Essa pergunta faz a maioria das pessoas se encolherem quando a veem pela primeira vez. Você quer a raiz quadrada de um número menor que zero? Isso é absurdo!

(Historicamente, haviam questões reais a serem respondidas, mas gosto de imaginar um espertinho)

Pareceu loucura, assim como negativos, zero e irracionais devem ter parecido loucura de primeira. Não há significado “real” pra essa pergunta, certo?

Errado. Os chamados “números imaginários” são tão normais quanto qualquer outro número (ou tão falsos): eles são uma ferramenta para descrever o mundo. No mesmo espírito de assumir que -1, 0.3 e 0 “existem”, vamos fingir que o número i exista onde:

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Isso é, você multiplica i por ele mesmo pra conseguir -1. O que acontece agora?

Bem, primeiro nós temos dor de cabeça. Mas jogar o jogo de “vamos fingir que o i existe” na verdade faz a matemática mais fácil e mais elegante. Novas relações emergem que podemos descrever com facilidade.

Você pode não acreditar no i, do mesmo jeito que aqueles matemáticos antigos não acreditavam em -1. Conceitos novos e que dão nó no cérebro são difíceis e não fazem sentido imediatamente, mesmo para Euler. Mas, como os negativos nos mostraram, conceitos estranhos ainda podem ser úteis.

Eu não gosto do termo “número imaginário” — ele era considerado um insulto, um estigma, feito pra machucar os sentimentos do i. O número i é tão normal quanto outros números, mas o nome “imaginário” pegou, então é ele que nós usamos.

Entendendo visualmente negativos e complexos

Como vimos da última vez, x² = 9 significa:
64b320ad6a60340af97b50f3732fed9c ou
a48bf6cfcd35ca04dff6b15366438250

Que transformação x, aplicada duas vezes, transforma 1 em 9?

As duas respostas são “x=3” e “x=-3”: Isso é, você pode “escalar por 3” ou “escalar por 3 e virar”.

Agora vamos pensar sobre x² = -1, que é:

49d0a2ea624a4eaab1945774cb7119de

Que transformação x, aplicada duas vezes, transforma 1 em -1? Hmm.

  • Não podemos multiplicar por um positivo duas vezes, porque o resultado continuaria positivo
  • Não podemos multiplicar por um negativo duas vezes, porque o resultado voltaria pra positivo na segunda multiplicação

Mas e quanto a uma… rotação? Soa louco, mas se nós imaginarmos x como uma “rotação de 90 graus”, então aplicar x duas vezes vai ser uma rotação de 180 graus. Ou uma virada de 1 pra -1!

Blog-6

Uau. E se nós pensarmos mais sobre isso podemos também rotacionar duas vezes na outra direção (horária), para transformar 1 em -1. Essa é a rotação “negativa”, ou uma multiplicação por -i:

Blog-7

Se multiplicarmos por -i duas vezes, a primeira multiplicação transformaria 1 em -i e a segunda transforma -i em -1. Então há na verdade duas raizes quadradas de -1: i e -i.

Isso é bem legal. Temos uma forma de resposta, mas o que ela significa?

  • i é uma “nova dimensão imaginária” para medir um número
  • i (ou -i) é o que os números “se tornam” quando são rotacionados
  • Multiplicar por i é uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário
  • Multiplicar por -i é uma rotação de 90 graus no sentido horário
  • Duas rotações em qualquer direção viram -1: elas nos trazem de volta à dimensão “normal” de números positivos e negativos.

Números tem 2 dimensões. Sim, é de dobrar o cérebro, assim como decimais ou divisão longa seriam para um romano antigo. “O que você quer dizer com esse papo de  ter um número entre 1 e 2?”. É uma maneira estranha e nova de se pensar sobre matemática.

Nós perguntamos “como transformar 1 em -1 em dois passos?” e encontramos uma resposta: rotacionar ele em 90 graus. É uma maneira estranha e nova de se pensar sobre matemática. Mas é útil. (Por falar nisso, essa interpretação geométrica de números complexos não apareceu até décadas depois da descoberta do i).

Também tenha em mente que ter o sentido anti-horário sendo positivo é uma convenção humana. Poderia facilmente ser o contrário.

Encontrando padrões

Vamos entrar em detalhes um pouco. Quando você multiplica números negativos, você consegue um padrão:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Já que o -1 não muda o tamanho de um número, só o sinal, você fica virando o número pra trás e pra frente.

Para algum número “x”, você consegue:

  • x, -x, x, -x, x, -x…

Essa ideia é útil. O número “x” pode representar uma má semana pro cabelo ou uma boa; essa é uma boa semana; como será em 47 semanas?

d59a40eae4e34b154ca72276d40a2ec0 (1)

Então -x significa uma má semana pro cabelo. Perceba como números negativos “acompanham o sinal” – podemos colocar (-1)^47 em uma calculadora sem ter de contar (“semana 1 é boa, semana 2 é ruim…semana 3 é boa…”). Coisas que viram pra frente e pra trás podem ser modeladas bem com números negativos.

Ok. Agora o que acontece se nós ficarmos multiplicando por i?

\displaystyle{1, i, i^2, i^3, i^4, i^5}

Muito engraçado. Vamos reduzir isso um pouco:

  • \displaystyle{1 = 1} (Sem perguntas aqui)
  • \displaystyle{i = i} (Haha)
  • \displaystyle{i^2 = -1} (Esse é o próprio significado de i)
  • \displaystyle{i^3 = (i \cdot i) \cdot i = -1 \cdot i = -i} (Ah, 3 rotações anti-horárias = 1 rotação horária. Legal.)
  • \displaystyle{i^4 = (i \cdot i) \cdot (i \cdot i) = -1 \cdot -1 = 1} (4 rotações nos trazem ao “círculo completo”)
  • \displaystyle{i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i} (Aqui vamos nós denovo…)

Representado visualmente:

Blog-4

Completamos um ciclo a cada 4a rotação. Faz sentido, certo? Qualquer criança poderá te dizer que 4 viradas à direita é o mesmo que nenhuma virada. Agora, ao invés de focar nos números imaginários, olhemos para o padrão geral:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Como números negativos que modelam o ato de “virar”, números imaginários podem modelar qualquer coisa que rode entre duas dimensões X e Y. Ou qualquer coisa com uma relação cíclica, circular.

Entendendo números complexos

Há um outro detalhe a cobrir: um número pode ser tanto “real” quanto “imaginário”?

Pode apostar que sim. Quem disse que temos que rotacionar os 90 graus? Se mantivermos um pé na dimensão “real” e outro na imaginária, o número se parece com isso:

Blog-5

Estamos em um ângulo de 45 graus, com partes iguais no real e no imaginário (1 + i). É como um hotdog com ambos ketchup e mostarda – quem disse que você precisa escolher?

Na verdade, podemos escolher qualquer combinação de números reais e imaginários e fazer um triângulo. O ângulo se torna o “ângulo de rotação”. Um número complexo é um nome xique para números com partes reais e imaginárias. Eles são escritos como a + bi, onde

  • a é a parte real
  • b é a parte imaginária

Blog-9

Nada mal. Mas há uma última pergunta: quão “grande” é um número complexo? Não podemos medir a parte real nem a imaginária isoladamente, porque isso seria ignorar o quadro geral.

Vamos voltar um passo. O tamanho de um número negativo não é “se você pode contá-lo ou não” — é sua distância do ponto zero. No caso dos negativos isso é:

Blog-10

Que é uma forma diferente de achar o valor absoluto. Mas, para números complexos, como medimos duas componentes em um ângulo de 90 graus?

É um pássaro… É um avião… é Pitágoras!

Poxa, o teorema dele está em todo canto, até em números inventados 2000 anos após seu tempo. Sim, estamos fazendo um triângulo retângulo. E a hipotenusa é a distância do ponto zero: Blog-11

Ao mesmo tempo em que medir o tamanho não é tão fácil quanto “tirar o sinal de menos”, números complexos também têm seus usos. Vamos dar uma olhada.

Um exemplo real: Rotações

Não vamos esperar até a física da faculdade para usarmos números imaginários. Vamos testá-los hoje. Há muito mais pra ser dito sobre multiplicação de complexos, mas mantenha isso em mente:

  • Ao multiplicar por um número complexo, estamos rotacionando pelo ângulo dele.

Vamos dar uma olhada. Suponha que estou em um barco, com um rumo de 3 unidades a leste para cada 4 unidades ao norte. Quero mudar meu rumo em 45 graus no sentido anti-horário. Qual é o novo rumo?

Blog-13

Algum bonitão vai dizer “Isso é fácil! Só tire o seno, o cosseno, a rebimboca da parafuseta e multiplique pela tangente do…”. Crack. Desculpa, quebrei a sua calculadora? Se importa em responder a pergunta denovo?

Vamos tentar uma abordagem mais simples: estamos num rumo de 3 + 4i (qualquer que seja o ângulo; não importa), e queremos rotacionar em 45 graus. Bem, 45 graus é 1 + i (diagonal perfeita), então podemos multiplicar por essa quantidade!

Blog-12

A ideia é essa:

  • Rumo original: 3 unidades leste, 4 unidades norte = 3 + 4i
  • Rotacionar no sentido anti-horário em 45 graus = multiplicar por 1 + i

Se multiplicamos os dois, conseguimos:

18cce37bb5045ac8fa4fc0f899169d81

Então o nosso novo rumo é 1 unidade oeste (-1 leste) e 7 unidades norte, que você poderia desenhar e seguir.

Mas olhe que incrível: encontramos isso em 10 segundos, sem nem tocar em senos ou cossenos. Não usamos vetores, matrizes e nem precisamos lembrar em qual quadrante estávamos. Foi só aritmética com um toque de álgebra pra multiplicar. Números imaginários têm as regras de rotação de fábrica: simplesmente funciona.

Melhor ainda, o resultado é útil. Temos um rumo (-1, 7) ao invés de um ângulo (atan(7/-1) = 98.13, tendo em mente que estamos no quadrante 2). Como exatamente você planejava desenhar e seguir esse ângulo? Com o transferidor que você tem no bolso?

Não, você converteria ele para seno e cosseno (0.99 e -0.14), encontraria uma relação razoável (mais ou menos 1 pra 7) e faria um rascunho do triângulo. Números complexos ganham de você nessa instantaneamente, de forma exata e sem uma calculadora.

Se você é como eu, você achará isso incrível. E se você não é, bem, temo que a matemática não te excite. Foi mal.

A trigonometria é ótima, mas números complexos podem tornar bonitos cálculos feios (como calcular o cosseno de (a+b)). Isso é só uma prévia, artigos posteriores lhe darão o prato cheio.

O que complexos não são

Isso foi um tour rápido pelas minhas sacadas básicas. Dê uma olhada na primeira tabela, ela deve fazer sentido agora.

muito mais a se saber sobre esses números belos e palhaços, mas meu cérebro está cansado. Meus objetivos foram simples:

  • Te convencer que números complexos eram considerados “loucura” mas podem ser úteis (assim como os negativos)
  • Te mostrar que números complexos podem tornar problemas mais fáceis, como rotações

Se pareço intenso e incomodado sobre esse tema, existe uma razão. Números imaginários têm sido um pé no meu saco por anos – a falta de uma sacada intuitiva me frustrava.

Agora que tive sacadas, estou explodindo para compartilhá-las. Mas me frustra que você está lendo isso no blog de um lunático dos olhos esbugalhados e não em uma sala de aula.

Nós sufocamos nossas perguntas e engolimos o choro – porque nós não pesquisamos nem compartilhamos sacadas limpas e intuitivas.

Mas é melhor acender uma vela do que amaldiçoar a escuridão: aqui estão meus pensamentos, que chamarão a atenção de alguns de vocês.

Pensar que nós “descobrimos a resposta” para um tema como os números é o que nos mantêm na terra dos numerais romanos.

Matemática feliz.

Epílogo: mas eles ainda são estranhos!

Eu sei, eles são estranhos pra mim também. Tento me colocar na mente da primeira pessoa a descobrir o zero.

Zero é uma ideia tão estranha, ter “algo” representando o “nada”, e isso iludia os romanos. Números complexos são parecidos – é uma nova forma de pensar. Mas ambos zero e números complexos facilitam muito mais a matemática. Se nunca tivéssemos adotado sistemas numéricos novos e estranhos, ainda estaríamos contando nos dedos.

Repito essa analogia porque é muito fácil começar a pensar que números complexos não são “normais”. Vamos manter nossas mentes abertas: no futuro as pessoas vão rir do fato de que algum dia as pessoas desacreditaram nos números complexos.

Se você quer mais detalhes, cheque a Wikipédia, a discussão do Dr. Math e outro argumento sobre por que números imaginários existem.

(Tradução livre deste artigo, do BetterExplained)

Uma introdução delicada ao cálculo

Tenho uma relação de amor e ódio com o cálculo: ele demonstra a beleza da matemática e a agonia da educação matemática.

O cálculo relaciona os temas de uma forma elegante e desafiadora.
Minha comparação mais próxima é a Teoria da Evolução: uma vez entendida, você começa a ver a Natureza em termos de sobrevivência. Você entende, por exemplo, por que medicamentos levam a germes resistentes (sobrevivência do mais apto). Você sabe por que o açúcar e a gordura têm gosto bom (para estimular o consumo de comida altamente calórica em tempos de escassez). Tudo se encaixa.

O cálculo é esclarecedor de forma semelhante. Não acha que essas fórmulas parecem relacionadas de alguma forma?

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Elas são. Mas a maioria de nós as aprende de forma independente. O cálculo nos permite começar com “C=gif (3)” e descobrir as outras — os Gregos teriam curtido isso. Infelizmente, o cálculo não pode descrever o que há de errado com o ensino de matemática.

A maioria das lições envolvem exemplos artificiais, provas misteriosas e decorebas que cortam nossa intuição e entusiasmo. Realmente não deveria ser assim.

Matemática, arte e ideias

Aprendi algo na escola: A matemática não é a parte difícil dela mesma; a motivação é.
Especificamente, se sentir encorajado apesar de:
(a) Professores mais focados em publicar do que ensinar.
(b) Profecias de que a matemática é difícil, chata, impopular ou “não é a sua praia”.
(c) Livros e grades curriculares mais preocupadas com lucros e resultados nas provas do que estimular a perspicácia do aluno.

“O Lamento de um Matemático” é um ensaio excelente sobre esse problema. Imagine ensinar arte assim:

– Crianças, pintar com os dedos é proibido no jardim de infância. Ao invés disso vamos estudar a química da pintura, a física da luz e a anatomia do olho.

Depois de 12 anos disso, se as crianças (agora adolescentes) já não odiarem arte, elas podem começar a colorir sozinhas. Afinal, agora elas têm os fundamentos rigorosos e testáveis para começarem a apreciar arte. Certo?

Poesia é similar. Imagine estudar essa citação (fórmula):

“E, sobretudo, isto: sê fiel a ti mesmo. Assim como a noite segue o dia, tu jamais serás falso para alguém.” — W. Shakespeare, Hamlet

É um jeito elegante de dizer “seja você mesmo”.

Mas se isso fosse uma aula comum de matemática, estaríamos contando as sílabas, analisando o pentâmetro iâmbico e mapeando o sujeito, verbo e objeto.Matemática e poesia são dedos apontados para a lua. Não confunda o dedo com a lua.

Fórmulas são meios para um fim, um jeito de expressar a verdade matemática.Nós esquecemos que a matemática é feita de ideias e não de manipular, como robôs, fórmulas que as expressam.

Ok, cara. Qual é a sua grande ideia?

Haha. Bem, aqui vai o que eu não vou fazer: recriar os livros que já existem. Se você precisa de respostas agora para sua prova final, há vários sites e vídeos por aí pra te ajudar.

Ao invés, vamos compartilhar as principais sacadas do cálculo. Equações não são suficientes – quero aqueles momentos de “ahá!” que fazem tudo clicar.

A língua matemática formal é só uma forma de se comunicar. Diagramas, animações e só uma simples conversa às vezes podem oferecer mais entendimento do que uma página cheia de provas matemáticas.

“Mas cálculo é difícil!”

Creio que qualquer um pode apreciar as ideias principais do cálculo. Não precisamos ser escritores para gostar de Shakespare.

Isso está dentro do seu alcance, se você conhece álgebra e tem um interesse geral em matemática.

Não muito tempo atrás, ler e escrever era um trabalho de escribas. Ainda assim hoje isso pode ser feito por um garotinho de dez anos. Por quê?

Porque nós esperamos isso dele. Expectativas desempenham um grande papel no que é possível. Então tenha a expectativa de que o cálculo seja só mais uma matéria. Algumas pessoas entram nos detalhes profundos (os escritores/matemáticos). Mas o resto de nós ainda pode apreciar o que está acontecendo e expandir nossos cérebros no caminho.

Tem a ver com quão longe queremos ir. Gostaria que todos entendessem os conceitos principais do cálculo e pudessem dizer “uau!”

Então sobre o que é o cálculo?

Alguns definem o cálculo como “o ramo da matemática que lida com limites e a diferenciação e integração de uma ou mais variáveis”. É correto, mas não ajuda iniciantes.

Minha opinião: o cálculo faz para a álgebra o que a álgebra fez para a aritmética.

  • A aritmética tem a ver com a manipulação de números (adição, multiplicação, etc.)
  • A álgebra encontra padrões entre os números: a² + b² = c² é uma relação famosa, descrevendo os lados de um triângulo retângulo. A álgebra encontra conjuntos inteiros de números – se você sabe a e b, você descobre c.
  • O cálculo encontra padrões entre equações: você pode ver como uma equação (C=gif (3)) se relaciona com uma similar (A=gif (2)).

Usando cálculo, podemos fazer qualquer tipo de pergunta:

  • Como uma equação cresce e encolhe? Como se acumula com o tempo?
  • Quando ela chega no seu menor e maior ponto?\
  • Como usamos variáveis que mudam constantemente? (Calor, movimento, populações, …)
  • E muito, muito mais.

A álgebra e o cálculo são uma dupla resolvedora de problemas: o cálculo encontra novas equações e a álgebra as resolve. Como a evolução, o cálculo expande seu entendimento de como a Natureza funciona.

Um exemplo, por favor?

Vamos nessa. Suponha que sabemos a equação da circunferência (C=gif (3)) e queremos achar a área. O que fazemos?

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Perceba que um círculo preenchido é como um conjunto de bonecas russas. Então nós o separamos em anéis. A quantidade de espaço é a mesma, certo? E quanto espaço um anel usa?
Bem, o maior anel tem raio “r” e circunferência de gif (3)Enquanto os anéis ficam menores suas circunferências encolhem, mas mantêm o padrão de gif (4). O anel final é como um ponto, sem circunferência alguma.
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Agora é quando as coisas ficam divertidas. Vamos desenrolar esses anéis e colocá-los em sequência. O que acontece?
  • A gente consegue um monte de linhas, formando um triângulo rudimentar. Mas, quanto mais finos os anéis que usarmos, mais suave se torna esse triângulo.
  • Um lado tem o menor anel (0) e o outro tem o maior (gif (3))
  • Nós temos anéis indo do raio 0 até o raio “r”. Para cada raio possível (de 0 a r), nós só colocamos um anel desenrolado no local.
  • A área total do “triângulo de anéis” = b*h/2 = r*2\pi r/2 = gif (2), que é a fórmula da área do círculo!
A área combinada dos anéis = a área do triângulo = a área do círculo!
TriangleFromCircle
Esse foi um exemplo rápido, mas você entendeu a ideia chave? Nós pegamos um disco, o separamos e juntamos os segmentos de uma forma diferente. O cálculo nos mostrou que o disco e o anel são intimamente relacionados: o disco é só um monte de anéis.


Isso é um tema recorrente no cálculo: coisas grandes são feitas de coisas pequenas. E algumas vezes as coisas pequenas são mais fáceis de serem trabalhadas.

Uma nota sobre exemplos

Muitos exemplos de cálculo são baseados em física. Isso é ótimo, mas pode ser difícil de se relacionar: honestamente, quantas vezes você sabe a equação da velocidade de um objeto? Menos que uma vez por semana, se isso.

Eu prefiro começar com exemplos físicos e visuais porque é como nossas mentes trabalham. Aquela coisa com o anel/círculo que fizemos? Você pode construí-la a partir de vários limpadores de cachimbo: separá-los e endireitá-los em um triângulo rudimentar para ver se a matemática realmente funciona. Isso não acontece com a sua equação da velocidade.

Uma nota sobre rigor (para os nerds da matemática)

Eu posso sentir os pedantes da matemática disparando seus teclados. Apenas algumas palavras sobre o “rigor”.

Você sabia que nós não aprendemos cálculo do jeito que Newton e Leibniz o descobriram? Eles usaram ideias intuitivas de “fluxões” e “infinitesimais”, que foram substituídas com limites porque “Claro, isso funciona na prática. Mas funciona na teoria?”.

Criamos construções mecânicas complexas para “rigorosamente” provar cálculo, mas perdemos a nossa intuição no processo.

Nós estamos olhando para a doçura do açúcar a partir do nível químico-cerebral, em vez de reconhecê-la como o jeito da Natureza de dizer “Isto tem muita energia. Coma.”

Eu não quero (e não posso) ensinar um curso de análise ou treinar pesquisadores. Seria tão ruim se todos entendessem cálculo ao nível “não-rigoroso” que Newton entendia? Que mudasse como eles viam o mundo como mudou para ele?

Um foco prematuro em rigor dissuade os alunos e faz a matemática difícil de aprender. Caso em questão: “e” é tecnicamente definida por um limite, mas a intuição de crescimento é como ele foi descoberto. O log natural pode ser visto como uma parte integrante, ou o tempo necessário para crescer. Que explicações mais ajudam iniciantes?

Vamos pintar com os dedos um pouco e entrar na química ao longo do caminho. Matemática feliz.

(Tradução livre deste artigo, do BetterExplained)