Uma introdução delicada ao cálculo

Tenho uma relação de amor e ódio com o cálculo: ele demonstra a beleza da matemática e a agonia da educação matemática.

O cálculo relaciona os temas de uma forma elegante e desafiadora.
Minha comparação mais próxima é a Teoria da Evolução: uma vez entendida, você começa a ver a Natureza em termos de sobrevivência. Você entende, por exemplo, por que medicamentos levam a germes resistentes (sobrevivência do mais apto). Você sabe por que o açúcar e a gordura têm gosto bom (para estimular o consumo de comida altamente calórica em tempos de escassez). Tudo se encaixa.

O cálculo é esclarecedor de forma semelhante. Não acha que essas fórmulas parecem relacionadas de alguma forma?

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Elas são. Mas a maioria de nós as aprende de forma independente. O cálculo nos permite começar com “C=gif (3)” e descobrir as outras — os Gregos teriam curtido isso. Infelizmente, o cálculo não pode descrever o que há de errado com o ensino de matemática.

A maioria das lições envolvem exemplos artificiais, provas misteriosas e decorebas que cortam nossa intuição e entusiasmo. Realmente não deveria ser assim.

Matemática, arte e ideias

Aprendi algo na escola: A matemática não é a parte difícil dela mesma; a motivação é.
Especificamente, se sentir encorajado apesar de:
(a) Professores mais focados em publicar do que ensinar.
(b) Profecias de que a matemática é difícil, chata, impopular ou “não é a sua praia”.
(c) Livros e grades curriculares mais preocupadas com lucros e resultados nas provas do que estimular a perspicácia do aluno.

“O Lamento de um Matemático” é um ensaio excelente sobre esse problema. Imagine ensinar arte assim:

– Crianças, pintar com os dedos é proibido no jardim de infância. Ao invés disso vamos estudar a química da pintura, a física da luz e a anatomia do olho.

Depois de 12 anos disso, se as crianças (agora adolescentes) já não odiarem arte, elas podem começar a colorir sozinhas. Afinal, agora elas têm os fundamentos rigorosos e testáveis para começarem a apreciar arte. Certo?

Poesia é similar. Imagine estudar essa citação (fórmula):

“E, sobretudo, isto: sê fiel a ti mesmo. Assim como a noite segue o dia, tu jamais serás falso para alguém.” — W. Shakespeare, Hamlet

É um jeito elegante de dizer “seja você mesmo”.

Mas se isso fosse uma aula comum de matemática, estaríamos contando as sílabas, analisando o pentâmetro iâmbico e mapeando o sujeito, verbo e objeto.Matemática e poesia são dedos apontados para a lua. Não confunda o dedo com a lua.

Fórmulas são meios para um fim, um jeito de expressar a verdade matemática.Nós esquecemos que a matemática é feita de ideias e não de manipular, como robôs, fórmulas que as expressam.

Ok, cara. Qual é a sua grande ideia?

Haha. Bem, aqui vai o que eu não vou fazer: recriar os livros que já existem. Se você precisa de respostas agora para sua prova final, há vários sites e vídeos por aí pra te ajudar.

Ao invés, vamos compartilhar as principais sacadas do cálculo. Equações não são suficientes – quero aqueles momentos de “ahá!” que fazem tudo clicar.

A língua matemática formal é só uma forma de se comunicar. Diagramas, animações e só uma simples conversa às vezes podem oferecer mais entendimento do que uma página cheia de provas matemáticas.

“Mas cálculo é difícil!”

Creio que qualquer um pode apreciar as ideias principais do cálculo. Não precisamos ser escritores para gostar de Shakespare.

Isso está dentro do seu alcance, se você conhece álgebra e tem um interesse geral em matemática.

Não muito tempo atrás, ler e escrever era um trabalho de escribas. Ainda assim hoje isso pode ser feito por um garotinho de dez anos. Por quê?

Porque nós esperamos isso dele. Expectativas desempenham um grande papel no que é possível. Então tenha a expectativa de que o cálculo seja só mais uma matéria. Algumas pessoas entram nos detalhes profundos (os escritores/matemáticos). Mas o resto de nós ainda pode apreciar o que está acontecendo e expandir nossos cérebros no caminho.

Tem a ver com quão longe queremos ir. Gostaria que todos entendessem os conceitos principais do cálculo e pudessem dizer “uau!”

Então sobre o que é o cálculo?

Alguns definem o cálculo como “o ramo da matemática que lida com limites e a diferenciação e integração de uma ou mais variáveis”. É correto, mas não ajuda iniciantes.

Minha opinião: o cálculo faz para a álgebra o que a álgebra fez para a aritmética.

  • A aritmética tem a ver com a manipulação de números (adição, multiplicação, etc.)
  • A álgebra encontra padrões entre os números: a² + b² = c² é uma relação famosa, descrevendo os lados de um triângulo retângulo. A álgebra encontra conjuntos inteiros de números – se você sabe a e b, você descobre c.
  • O cálculo encontra padrões entre equações: você pode ver como uma equação (C=gif (3)) se relaciona com uma similar (A=gif (2)).

Usando cálculo, podemos fazer qualquer tipo de pergunta:

  • Como uma equação cresce e encolhe? Como se acumula com o tempo?
  • Quando ela chega no seu menor e maior ponto?\
  • Como usamos variáveis que mudam constantemente? (Calor, movimento, populações, …)
  • E muito, muito mais.

A álgebra e o cálculo são uma dupla resolvedora de problemas: o cálculo encontra novas equações e a álgebra as resolve. Como a evolução, o cálculo expande seu entendimento de como a Natureza funciona.

Um exemplo, por favor?

Vamos nessa. Suponha que sabemos a equação da circunferência (C=gif (3)) e queremos achar a área. O que fazemos?

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Perceba que um círculo preenchido é como um conjunto de bonecas russas. Então nós o separamos em anéis. A quantidade de espaço é a mesma, certo? E quanto espaço um anel usa?
Bem, o maior anel tem raio “r” e circunferência de gif (3)Enquanto os anéis ficam menores suas circunferências encolhem, mas mantêm o padrão de gif (4). O anel final é como um ponto, sem circunferência alguma.
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Agora é quando as coisas ficam divertidas. Vamos desenrolar esses anéis e colocá-los em sequência. O que acontece?
  • A gente consegue um monte de linhas, formando um triângulo rudimentar. Mas, quanto mais finos os anéis que usarmos, mais suave se torna esse triângulo.
  • Um lado tem o menor anel (0) e o outro tem o maior (gif (3))
  • Nós temos anéis indo do raio 0 até o raio “r”. Para cada raio possível (de 0 a r), nós só colocamos um anel desenrolado no local.
  • A área total do “triângulo de anéis” = b*h/2 = r*2\pi r/2 = gif (2), que é a fórmula da área do círculo!
A área combinada dos anéis = a área do triângulo = a área do círculo!
TriangleFromCircle
Esse foi um exemplo rápido, mas você entendeu a ideia chave? Nós pegamos um disco, o separamos e juntamos os segmentos de uma forma diferente. O cálculo nos mostrou que o disco e o anel são intimamente relacionados: o disco é só um monte de anéis.


Isso é um tema recorrente no cálculo: coisas grandes são feitas de coisas pequenas. E algumas vezes as coisas pequenas são mais fáceis de serem trabalhadas.

Uma nota sobre exemplos

Muitos exemplos de cálculo são baseados em física. Isso é ótimo, mas pode ser difícil de se relacionar: honestamente, quantas vezes você sabe a equação da velocidade de um objeto? Menos que uma vez por semana, se isso.

Eu prefiro começar com exemplos físicos e visuais porque é como nossas mentes trabalham. Aquela coisa com o anel/círculo que fizemos? Você pode construí-la a partir de vários limpadores de cachimbo: separá-los e endireitá-los em um triângulo rudimentar para ver se a matemática realmente funciona. Isso não acontece com a sua equação da velocidade.

Uma nota sobre rigor (para os nerds da matemática)

Eu posso sentir os pedantes da matemática disparando seus teclados. Apenas algumas palavras sobre o “rigor”.

Você sabia que nós não aprendemos cálculo do jeito que Newton e Leibniz o descobriram? Eles usaram ideias intuitivas de “fluxões” e “infinitesimais”, que foram substituídas com limites porque “Claro, isso funciona na prática. Mas funciona na teoria?”.

Criamos construções mecânicas complexas para “rigorosamente” provar cálculo, mas perdemos a nossa intuição no processo.

Nós estamos olhando para a doçura do açúcar a partir do nível químico-cerebral, em vez de reconhecê-la como o jeito da Natureza de dizer “Isto tem muita energia. Coma.”

Eu não quero (e não posso) ensinar um curso de análise ou treinar pesquisadores. Seria tão ruim se todos entendessem cálculo ao nível “não-rigoroso” que Newton entendia? Que mudasse como eles viam o mundo como mudou para ele?

Um foco prematuro em rigor dissuade os alunos e faz a matemática difícil de aprender. Caso em questão: “e” é tecnicamente definida por um limite, mas a intuição de crescimento é como ele foi descoberto. O log natural pode ser visto como uma parte integrante, ou o tempo necessário para crescer. Que explicações mais ajudam iniciantes?

Vamos pintar com os dedos um pouco e entrar na química ao longo do caminho. Matemática feliz.

(Tradução livre deste artigo, do BetterExplained)
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