Um guia intuitivo e visual para números imaginários

Números imaginários sempre me confundiram. É como entender “e”, a maioria das explicações caem em uma das duas categorias:

  • É uma abstração matemática e as equações funcionam. Lide com isso.
  • É usado em física avançada, confie em nós. Espere até a faculdade.

Poxa, que ótima forma de encorajar a matemática nas pessoas! Hoje vamos assaltar esse tópico com as nossas ferramentas preferidas:

  • Focar em relações e não em fórmulas mecânicas
  • Ver números complexos como um upgrade do nosso sistema numérico, como o zero, os decimais e os negativos foram
  • Usar diagramas visuais, não somente texto, para entender a ideia

E a nossa arma secreta: aprendizado por analogia. Iremos entender números imaginários observando seu antecessor, os negativos. Aqui vai seu guia:

Captura de Tela 2014-12-04 às 19.54.34

Não faz sentido ainda, mas aguenta aí. Até o fim deste artigo vamos caçar o “i” e dar-lhe uma chave de pescoço, ao invés do contrário.

Passo-a-Passo (EN):

Entendendo números negativos de verdade

Números negativos não são fáceis. Imagine que você é um matemático europeu no século 1700. Você tem 3 e 4 e sabe que pode escrever 4 – 3 = 1. Simples.

Mas e 3 – 4? O que, exatamente, isso significa? Como você pode tirar 4 vacas de 3? Como você pode ter menos que nada?

Negativos já foram considerados um absurdo, algo que “escurecia inteiras doutrinas de equações” (Francis Maseres, 1759). Ainda assim, hoje, seria absurdo pensar que os negativos não são lógicos ou úteis. Experimente perguntar ao seu professor se os negativos corrompem os fundamentos da matemática.

O que aconteceu? Nós inventamos um número teórico que tinha propriedades úteis. Negativos não são algo que podemos tocar ou segurar, mas eles descrevem bem certos relacionamentos (como a dívida). Era uma ficção útil.

Ao invés de dizer “eu te devo 30” e ler as palavras para ver se sou devedor ou credor, eu posso escrever “-30” e saber que isso significa que eu estou na pior. Se eu ganhar dinheiro e pagar as minhas dívidas (-30 + 100 = 70), eu posso registrar a transação facilmente. Tenho +70 depois, o que significa que eu estou livre da dívida.

Os sinais positivos e negativos acompanham a direção automaticamente – você não precisa de uma frase para descrever o impacto de cada transação. A matemática se tornou mais fácil, mais elegante. Não importava se os negativos eram “tangíveis” ou não – eles tinham propriedades úteis, e nós utilizamos eles até que se tornaram itens de uso diário. Hoje você chamaria alguém por nomes obscenos se a pessoa não “entendesse” os negativos.

Mas não vamos subestimar a luta: os números negativos foram uma grande mudança mental. Mesmo Euler, o gênio que descobriu “e e muito mais, não entendia negativos como nós entendemos hoje. Eles foram considerados resultados “sem sentido” (ele compensou por isso mais tarde em grande estilo).

É um testemunho do nosso potencial mental que se espera das crianças de hoje que compreendam ideias que uma vez confundiram matemáticos antigos.

Adentrando os números imaginários

Números imaginários têm uma história semelhante. Podemos resolver equações assim o dia todo:

a9689703566da06418cfde37ae65ff48

As respostas são 3 e -3. Mas suponha que um espertinho adicione um discreto sinal de menos:

a339521a3589c0a0077c2d9000943b4d

Oh. Essa pergunta faz a maioria das pessoas se encolherem quando a veem pela primeira vez. Você quer a raiz quadrada de um número menor que zero? Isso é absurdo!

(Historicamente, haviam questões reais a serem respondidas, mas gosto de imaginar um espertinho)

Pareceu loucura, assim como negativos, zero e irracionais devem ter parecido loucura de primeira. Não há significado “real” pra essa pergunta, certo?

Errado. Os chamados “números imaginários” são tão normais quanto qualquer outro número (ou tão falsos): eles são uma ferramenta para descrever o mundo. No mesmo espírito de assumir que -1, 0.3 e 0 “existem”, vamos fingir que o número i exista onde:

7629fbf1f6929348712245765c35727a

Isso é, você multiplica i por ele mesmo pra conseguir -1. O que acontece agora?

Bem, primeiro nós temos dor de cabeça. Mas jogar o jogo de “vamos fingir que o i existe” na verdade faz a matemática mais fácil e mais elegante. Novas relações emergem que podemos descrever com facilidade.

Você pode não acreditar no i, do mesmo jeito que aqueles matemáticos antigos não acreditavam em -1. Conceitos novos e que dão nó no cérebro são difíceis e não fazem sentido imediatamente, mesmo para Euler. Mas, como os negativos nos mostraram, conceitos estranhos ainda podem ser úteis.

Eu não gosto do termo “número imaginário” — ele era considerado um insulto, um estigma, feito pra machucar os sentimentos do i. O número i é tão normal quanto outros números, mas o nome “imaginário” pegou, então é ele que nós usamos.

Entendendo visualmente negativos e complexos

Como vimos da última vez, x² = 9 significa:
64b320ad6a60340af97b50f3732fed9c ou
a48bf6cfcd35ca04dff6b15366438250

Que transformação x, aplicada duas vezes, transforma 1 em 9?

As duas respostas são “x=3” e “x=-3”: Isso é, você pode “escalar por 3” ou “escalar por 3 e virar”.

Agora vamos pensar sobre x² = -1, que é:

49d0a2ea624a4eaab1945774cb7119de

Que transformação x, aplicada duas vezes, transforma 1 em -1? Hmm.

  • Não podemos multiplicar por um positivo duas vezes, porque o resultado continuaria positivo
  • Não podemos multiplicar por um negativo duas vezes, porque o resultado voltaria pra positivo na segunda multiplicação

Mas e quanto a uma… rotação? Soa louco, mas se nós imaginarmos x como uma “rotação de 90 graus”, então aplicar x duas vezes vai ser uma rotação de 180 graus. Ou uma virada de 1 pra -1!

Blog-6

Uau. E se nós pensarmos mais sobre isso podemos também rotacionar duas vezes na outra direção (horária), para transformar 1 em -1. Essa é a rotação “negativa”, ou uma multiplicação por -i:

Blog-7

Se multiplicarmos por -i duas vezes, a primeira multiplicação transformaria 1 em -i e a segunda transforma -i em -1. Então há na verdade duas raizes quadradas de -1: i e -i.

Isso é bem legal. Temos uma forma de resposta, mas o que ela significa?

  • i é uma “nova dimensão imaginária” para medir um número
  • i (ou -i) é o que os números “se tornam” quando são rotacionados
  • Multiplicar por i é uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário
  • Multiplicar por -i é uma rotação de 90 graus no sentido horário
  • Duas rotações em qualquer direção viram -1: elas nos trazem de volta à dimensão “normal” de números positivos e negativos.

Números tem 2 dimensões. Sim, é de dobrar o cérebro, assim como decimais ou divisão longa seriam para um romano antigo. “O que você quer dizer com esse papo de  ter um número entre 1 e 2?”. É uma maneira estranha e nova de se pensar sobre matemática.

Nós perguntamos “como transformar 1 em -1 em dois passos?” e encontramos uma resposta: rotacionar ele em 90 graus. É uma maneira estranha e nova de se pensar sobre matemática. Mas é útil. (Por falar nisso, essa interpretação geométrica de números complexos não apareceu até décadas depois da descoberta do i).

Também tenha em mente que ter o sentido anti-horário sendo positivo é uma convenção humana. Poderia facilmente ser o contrário.

Encontrando padrões

Vamos entrar em detalhes um pouco. Quando você multiplica números negativos, você consegue um padrão:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Já que o -1 não muda o tamanho de um número, só o sinal, você fica virando o número pra trás e pra frente.

Para algum número “x”, você consegue:

  • x, -x, x, -x, x, -x…

Essa ideia é útil. O número “x” pode representar uma má semana pro cabelo ou uma boa; essa é uma boa semana; como será em 47 semanas?

d59a40eae4e34b154ca72276d40a2ec0 (1)

Então -x significa uma má semana pro cabelo. Perceba como números negativos “acompanham o sinal” – podemos colocar (-1)^47 em uma calculadora sem ter de contar (“semana 1 é boa, semana 2 é ruim…semana 3 é boa…”). Coisas que viram pra frente e pra trás podem ser modeladas bem com números negativos.

Ok. Agora o que acontece se nós ficarmos multiplicando por i?

\displaystyle{1, i, i^2, i^3, i^4, i^5}

Muito engraçado. Vamos reduzir isso um pouco:

  • \displaystyle{1 = 1} (Sem perguntas aqui)
  • \displaystyle{i = i} (Haha)
  • \displaystyle{i^2 = -1} (Esse é o próprio significado de i)
  • \displaystyle{i^3 = (i \cdot i) \cdot i = -1 \cdot i = -i} (Ah, 3 rotações anti-horárias = 1 rotação horária. Legal.)
  • \displaystyle{i^4 = (i \cdot i) \cdot (i \cdot i) = -1 \cdot -1 = 1} (4 rotações nos trazem ao “círculo completo”)
  • \displaystyle{i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i} (Aqui vamos nós denovo…)

Representado visualmente:

Blog-4

Completamos um ciclo a cada 4a rotação. Faz sentido, certo? Qualquer criança poderá te dizer que 4 viradas à direita é o mesmo que nenhuma virada. Agora, ao invés de focar nos números imaginários, olhemos para o padrão geral:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Como números negativos que modelam o ato de “virar”, números imaginários podem modelar qualquer coisa que rode entre duas dimensões X e Y. Ou qualquer coisa com uma relação cíclica, circular.

Entendendo números complexos

Há um outro detalhe a cobrir: um número pode ser tanto “real” quanto “imaginário”?

Pode apostar que sim. Quem disse que temos que rotacionar os 90 graus? Se mantivermos um pé na dimensão “real” e outro na imaginária, o número se parece com isso:

Blog-5

Estamos em um ângulo de 45 graus, com partes iguais no real e no imaginário (1 + i). É como um hotdog com ambos ketchup e mostarda – quem disse que você precisa escolher?

Na verdade, podemos escolher qualquer combinação de números reais e imaginários e fazer um triângulo. O ângulo se torna o “ângulo de rotação”. Um número complexo é um nome xique para números com partes reais e imaginárias. Eles são escritos como a + bi, onde

  • a é a parte real
  • b é a parte imaginária

Blog-9

Nada mal. Mas há uma última pergunta: quão “grande” é um número complexo? Não podemos medir a parte real nem a imaginária isoladamente, porque isso seria ignorar o quadro geral.

Vamos voltar um passo. O tamanho de um número negativo não é “se você pode contá-lo ou não” — é sua distância do ponto zero. No caso dos negativos isso é:

Blog-10

Que é uma forma diferente de achar o valor absoluto. Mas, para números complexos, como medimos duas componentes em um ângulo de 90 graus?

É um pássaro… É um avião… é Pitágoras!

Poxa, o teorema dele está em todo canto, até em números inventados 2000 anos após seu tempo. Sim, estamos fazendo um triângulo retângulo. E a hipotenusa é a distância do ponto zero: Blog-11

Ao mesmo tempo em que medir o tamanho não é tão fácil quanto “tirar o sinal de menos”, números complexos também têm seus usos. Vamos dar uma olhada.

Um exemplo real: Rotações

Não vamos esperar até a física da faculdade para usarmos números imaginários. Vamos testá-los hoje. Há muito mais pra ser dito sobre multiplicação de complexos, mas mantenha isso em mente:

  • Ao multiplicar por um número complexo, estamos rotacionando pelo ângulo dele.

Vamos dar uma olhada. Suponha que estou em um barco, com um rumo de 3 unidades a leste para cada 4 unidades ao norte. Quero mudar meu rumo em 45 graus no sentido anti-horário. Qual é o novo rumo?

Blog-13

Algum bonitão vai dizer “Isso é fácil! Só tire o seno, o cosseno, a rebimboca da parafuseta e multiplique pela tangente do…”. Crack. Desculpa, quebrei a sua calculadora? Se importa em responder a pergunta denovo?

Vamos tentar uma abordagem mais simples: estamos num rumo de 3 + 4i (qualquer que seja o ângulo; não importa), e queremos rotacionar em 45 graus. Bem, 45 graus é 1 + i (diagonal perfeita), então podemos multiplicar por essa quantidade!

Blog-12

A ideia é essa:

  • Rumo original: 3 unidades leste, 4 unidades norte = 3 + 4i
  • Rotacionar no sentido anti-horário em 45 graus = multiplicar por 1 + i

Se multiplicamos os dois, conseguimos:

18cce37bb5045ac8fa4fc0f899169d81

Então o nosso novo rumo é 1 unidade oeste (-1 leste) e 7 unidades norte, que você poderia desenhar e seguir.

Mas olhe que incrível: encontramos isso em 10 segundos, sem nem tocar em senos ou cossenos. Não usamos vetores, matrizes e nem precisamos lembrar em qual quadrante estávamos. Foi só aritmética com um toque de álgebra pra multiplicar. Números imaginários têm as regras de rotação de fábrica: simplesmente funciona.

Melhor ainda, o resultado é útil. Temos um rumo (-1, 7) ao invés de um ângulo (atan(7/-1) = 98.13, tendo em mente que estamos no quadrante 2). Como exatamente você planejava desenhar e seguir esse ângulo? Com o transferidor que você tem no bolso?

Não, você converteria ele para seno e cosseno (0.99 e -0.14), encontraria uma relação razoável (mais ou menos 1 pra 7) e faria um rascunho do triângulo. Números complexos ganham de você nessa instantaneamente, de forma exata e sem uma calculadora.

Se você é como eu, você achará isso incrível. E se você não é, bem, temo que a matemática não te excite. Foi mal.

A trigonometria é ótima, mas números complexos podem tornar bonitos cálculos feios (como calcular o cosseno de (a+b)). Isso é só uma prévia, artigos posteriores lhe darão o prato cheio.

O que complexos não são

Isso foi um tour rápido pelas minhas sacadas básicas. Dê uma olhada na primeira tabela, ela deve fazer sentido agora.

muito mais a se saber sobre esses números belos e palhaços, mas meu cérebro está cansado. Meus objetivos foram simples:

  • Te convencer que números complexos eram considerados “loucura” mas podem ser úteis (assim como os negativos)
  • Te mostrar que números complexos podem tornar problemas mais fáceis, como rotações

Se pareço intenso e incomodado sobre esse tema, existe uma razão. Números imaginários têm sido um pé no meu saco por anos – a falta de uma sacada intuitiva me frustrava.

Agora que tive sacadas, estou explodindo para compartilhá-las. Mas me frustra que você está lendo isso no blog de um lunático dos olhos esbugalhados e não em uma sala de aula.

Nós sufocamos nossas perguntas e engolimos o choro – porque nós não pesquisamos nem compartilhamos sacadas limpas e intuitivas.

Mas é melhor acender uma vela do que amaldiçoar a escuridão: aqui estão meus pensamentos, que chamarão a atenção de alguns de vocês.

Pensar que nós “descobrimos a resposta” para um tema como os números é o que nos mantêm na terra dos numerais romanos.

Matemática feliz.

Epílogo: mas eles ainda são estranhos!

Eu sei, eles são estranhos pra mim também. Tento me colocar na mente da primeira pessoa a descobrir o zero.

Zero é uma ideia tão estranha, ter “algo” representando o “nada”, e isso iludia os romanos. Números complexos são parecidos – é uma nova forma de pensar. Mas ambos zero e números complexos facilitam muito mais a matemática. Se nunca tivéssemos adotado sistemas numéricos novos e estranhos, ainda estaríamos contando nos dedos.

Repito essa analogia porque é muito fácil começar a pensar que números complexos não são “normais”. Vamos manter nossas mentes abertas: no futuro as pessoas vão rir do fato de que algum dia as pessoas desacreditaram nos números complexos.

Se você quer mais detalhes, cheque a Wikipédia, a discussão do Dr. Math e outro argumento sobre por que números imaginários existem.

(Tradução livre deste artigo, do BetterExplained)
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s