Uma introdução intuitiva aos limites

Limites, uma das Fundações do Cálculo, parecem tão artificiais e enganadores: “Deixe x se aproximar de 0, mas não chegar lá, e ainda assim vamos agir como se tivesse chegado”. Ugh.

É assim que aprendi a gostar deles:

  • O que é um limite? Nossa melhor previsão de um ponto que não observamos
  • Como fazemos uma previsão? Dando um zoom nos pontos vizinhos. Se nossa previsão estiver sempre no meio dos pontos vizinhos, não importa de quanto seja o zoom, essa é nossa estimativa.
  • Por que precisamos de limites? A matemática tem cenários de “buraco negro” (dividir por zero, ir até o infinito), e limites nos dão uma estimativa razoável.
  • Como sabemos que estamos certos? Não sabemos. Nossa previsão, o limite, não precisa condizer com a realidade. Mas, para a maioria dos fenômenos naturais, parece condizer.

Limites nos permitem perguntar “E se?”. Se nós podemos observar diretamente uma função em um valor (como x=0, ou x crescendo infinitamente), nós não precisamos de uma previsão. O limite pensa consigo mesmo: “Se você consegue ver tudo com exceção de um único valor, o que você pensa que tem lá?”.

Quando nossa previsão é consistente e melhora quanto mais aproximamos nela, nos sentimos confiantes dela. E, se a função se comporta de forma suave, como a maioria das funções do mundo real, o limite é onde o ponto faltando deve estar.

Analogia Chave: prevendo uma bola de futebol

Finja que você está vendo um jogo de futebol. Infelizmente, o sinal está ruim.

soccer-limits

Argh! Nós perdemos o que aconteceu nos 4:00. Mesmo assim, qual é a sua previsão para a posição da bola?

Fácil. Só pegue os instantes vizinhos (3:59 e 4:01) e preveja que a bola vai estar em algum lugar no meio deles.

E… funciona! Objetos na vida real não teleportam; eles se movem através de posições intermediárias ao longo de seus caminhos de A até B. Nossa previsão é “No momento 4:00, a bola estava no meio de suas posições em 3:59 e 4:01”. Nada mal.

Com uma câmera slow-motion, podemos até dizer “No momento 4:00, a bola estava no meio de suas posições em 3:59.999 e 4:00.001″.

Nossa previsão parece sólida. Podemos articular por quê?

  • As previsões concordam em níveis crescentes de zoom. Imagine que o alcance de 3:59-4:01 fosse de 9.9-10.1 metros, mas após aproximar em 3:59.999-4:00.001, o alcance aumentou para 9-12 metros. Oh! Aproximar deveria encolher nossa estimativa, não piorá-la! Nem todo nível de zoom precisa ser preciso (imagine ver o jogo a cada 5 minutos), mas, para se sentir confiante, deve haver um limiar onde zooms subsequentes só fortalecem o alcance de nossa estimativa.
  • O antes-e-depois devem concordar. Imagine que aos 3:59 a bola estava aos 10 metros, rolando pra direita, e nos 4:01 ela estava aos 50 metros, rolando pra esquerda. O que aconteceu? Nós tivemos um pulo do nada (a câmera mudou?) e agora não podemos acertar a posição da bola. Quem estava com a bola em 4:00? Essa ambiguidade quebra nossa habilidade de fazer uma previsão confiável.

Com esses pré-requisitos em prática, podemos dizer “Nos 4:00, a bola estava nos 10 metros. Essa estimativa é confirmada pelo nosso zoom inicial (4:59-4:01, que estima 9.9 a 10.1 metros) e o seguinte (3:59.999-4:00.001, que estima 9.999 a 10.001 metros)”.

Limites são uma estratégia para fazer previsões confiáveis.

Explorando a intuição

Vamos deixar as definições matemáticas de lado por enquanto. Para que coisas, no mundo real, queremos uma previsão mas não conseguimos medir facilmente?

Qual é a circunferência de um círculo?

Achar pi “experimentalmente” é duro: precisamos de uma corda e uma régua?

Não podemos medir uma forma que aparenta ter infinitos lados, mas podemos nos perguntar “há uma previsão para o valor de pi que vai estar sempre precisa quanto mais nós aumentarmos os lados?”

Arquimedes descobriu que pi tem um alcance de:

31fc9b622525a9d79d4afff1a891db6b

Usando um processo assim:

T

Foi o precursor do cálculo: ele determinou que pi era um número que ficava entre fronteiras que sempre se encolhiam. Hoje em dia, nós temos definições modernas de limites para pi.

Com o que se parece o crescimento contínuo?

e, um dos meus números preferidos, pode ser definido assim:

d306e5a95dde600d0106ccf8d63a2805

Lalala

Não podemos medir facilmente o resultado de um crescimento infinitamente composto. Mas, se nós pudéssemos fazer uma previsão, existe uma taxa que seria eternamente precisa? Parece estar por volta de 2,71828…

Podemos usar figuras simples pra medir as complexas?

Círculos e curvas são difíceis de medir, mas retângulos são fáceis. Se pudéssemos usar um número infinito de retângulos para simular uma área curvada, podemos conseguir um resultado que aguente um zoom infinito? (Talvez nós possamos achar a área de um círculo)

Blog-3

Podemos achar a velocidade em um instante?

A velocidade é engraçada: ela precisa de uma medição antes-e-depois (distância viajada/tempo que levou), mas não podemos ter uma velocidade em instantes individuais? Hmm.

Limites nos ajudam a responder esse enigma: prever sua velocidade quando viajando para um instante vizinho. E então faça a “pergunta impossível”:  qual é a sua previsão de velocidade quando o espaço para o instante vizinho é zero?

Nota: o limite não é uma cura mágica para qualquer doença. Não podemos assumir que um existe e pode não existir uma resposta para toda pergunta. Por exemplo: a quantidade de inteiros é par ou ímpar? A quantidade é infinita, e nem a previsão “par” nem a “ímpar” continuam precisas enquanto nós contamos mais além. Não existe uma previsão bem fundamentada.

Para pi, e, e outras fundações do cálculo, mentes espertas fizeram as provas para determinar que “Sim, nossos valores previstos ficam mais precisos quanto mais perto olhamos”. Agora vejo por que limites são tão importantes: eles são um carimbo de aprovação nas nossas previsões.

A Matemática: a definição formal de um limite

Limites são previsões bem fundamentadas. Aqui está nossa definição oficial:

e5f5ada24c028ce96f11dd07d9ac4f92

significa que para todo ε real tal que ε > 0 existe um δ real tal que δ > 0 tal que para todo x com 0 < |x − c| < δ, nós temos|f(x) − L| < ε

Vamos deixar isso legível:

PORTUGUÊS MATEMÁTICO PORTUGUÊS HUMANO
\displaystyle{ \lim_{x \to c}f(x) = L } significa que
quando nós “prevemos” que f(c) = L, queremos dizer que
para todo ε real tal que ε > 0 para qualquer margem de erro que quisermos (+/- 0.1 metros)
existe um δ real tal que δ > 0 existe um nível de zoom (+/- 0.1 segundos)
tal que para todo x com 0 < |x − c| < δ, nós temos |f(x) − L| < ε onde a previsão permanece precisa dentro da margem de erro

Há algumas sutilezas aqui:

  • O nível de zoom (delta, δ) é a entrada da função, por ex.: o tempo no vídeo
  • A margem de erro (epsilon, ε) é o máximo que a saída da função (a posição da bola) pode diferir de nossa posição ao longo do nível de zoom
  • A condição do valor absoluto (0 < |x − c| < δ) significa que deve funcionar pra desalinhamentos positivos e negativos, e que estamos pulando o buraco negro em si (quando |x – c| = 0)

Não podemos avaliar a entrada que é o “buraco negro”, mas podemos dizer que “com exceção do ponto faltando, qualquer nível de zoom confirma a previsão f(c) = L”. E nos sentimos confiantes porque f(L) continua funcionando para qualquer margem de erro que encontrarmos.

Poderíamos fazer previsões múltiplas? Imagine que prevemos L1 e L2 para f(c). Existe alguma diferença entre eles (chame-a de 0.1), logo existe uma margem de erro (0.01) que revelaria qual é o mais preciso. Toda saída da função no alcance não pode estar dentro de 0.01 em ambas previsões. Ou nós temos uma previsão única, infinitamente precisa, ou não temos.

Sim, podemos ser fofos e pedir o “limite pela esquerda” (previsão de antes do evento) e o “limite pela direita” (previsão de depois do evento), mas só temos um limite real quando eles concordam.

Uma função é contínua quando ela sempre corresponde ao valor da previsão (e descontínua se não):

\displaystyle{\lim_{x \to c}{f(x)} = f(c)}

O cálculo tipicamente estuda funções contínuas, jogando o jogo de “estamos fazendo previsões, mas só porque sabemos que estarão certas.”

A Matemática: mostrando que o limite existe

Temos os pré-requisitos para uma previsão sólida. As questões que te pedem para “provar que o limite existe” te pedem para justificar sua estimativa.

Por exemplo: prove que o limite a x=2 existe para

\displaystyle{f(x) = \frac{(2x+1)(x-2)}{(x - 2)}}

A primeira checagem: será que precisamos de um limite? Infelizmente, precisamos: só colocar “x=2” significaria uma divisão por zero. Maldição.

Mas, intuitivamente, vemos que o mesmo “zero” (x – 2) pode ser cancelado da parte de cima e da de baixo. É assim que se dança esse tango perigoso:

  • Assuma que x está em qualquer lugar com exceção de 2 (Deve estar! Estamos fazendo uma previsão por fora)
  • Podemos então cancelar (x – 2) da parte de cima e de baixo, já que não é zero.
  • Nos resta f(x) = 2x + 1. Essa função pode ser usada fora do buraco negro.
  • O que essa função mais simples prevê? Que f(2) = 2*2 + 1 = 5.

Então f(2) = 5 é a nossa previsão. Mas você viu a sacada? Nós fingimos que x não era 2 [para tirar o (x-2) da divisão], e colocamos o 2 de volta depois que esse item problemático saiu! Pense nisso dessa forma: nós simplesmente usamos o comportamento da parte de fora do evento para prever o comportamento notável no evento.

Podemos provar que essas travessuras dão uma previsão sólida, e que f(2) = 5 é infinitamente preciso.

Para qualquer limite de precisão (ε), precisamos achar o “alcance de zoom” (δ) onde permanecemos dentro da precisão dada. Por exemplo, podemos manter a estimativa entre +/- 1.0?

Claro. Precisamos descobrir onde

\displaystyle{|f(x) - 5| < 1.0}

E então

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> \begin{align*}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |2x + 1 - 5| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |2x - 4| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |2(x - 2)| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> 2|(x - 2)| &< 1.0 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |x - 2| &< 0.5<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> \end{align*}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

Em outras palavras, x deve estar dentro de 0.5 de 2 para manter o pré-requisito de precisão inicial de 1.0.

De fato, quando x está entre 1.5 e 2.5, f(x) vai de f(1.5) = 4 para f(2.5) = 6, ficando +/- 1.0 do nosso valor previsto de 5.

Podemos generalizar a qualquer tolerância de erro (ε) usando para 1.0 acima. Conseguimos:

\displaystyle{|x - 2| < 0.5 \cdot \epsilon}

Se nosso nível de zoom é “δ = 0.5 * ε”, ficaremos dentro do erro original. Se nosso erro é 1.0 nós precisamos ampliar para 0.5; se é 0.1, precisamos ampliar para 0.05.

Essa função simples foi um exemplo conveniente. A ideia é começar com a restrição inicial (|f(x) – L| < ε), inserir f(x) e L, e resolver para a distância em relação ao ponto do buraco negro (|x – c| < ?). Costuma ser um exercício de álgebra.

Algumas vezes te pedem para somente encontrar o limite (colocar 2 e receber f(2) = 5), outras vezes pedem para provar que ele existe, ou seja, ligar a marcha na álgebra do epsilon-delta.

Trocando Zero e Infinito

Infinito, quando usado em um limite, significa “cresce sem parar”. O símbolo ∞ é tão “número” quanto a frase “cresce sem parar” ou “meu estoque de cuecas está acabando”. Eles são conceitos, não números (para nosso nível de matemática, claro, Aleph).

Quando usamos ∞ em um limite, estamos perguntando: “Enquanto x cresce sem parar, podemos fazer uma previsão que permanece precisa?”. Se existe um limite, significa que o valor da previsão é sempre confirmado, não importando quão longe nós olhamos.

Mas eu ainda não gosto do infinito porque eu não posso vê-lo. Mas eu posso ver zero. Com limites, você pode reescrever

\displaystyle{\lim_{x \to \infty}}

como

\displaystyle{\lim_{\frac{1}{x} \to 0}}

Você pode ir mais além e definir y = 1/x, substituir itens na sua fórmula, e aí usar o seguinte para que pareça uma fórmula normal de novo:

\displaystyle{\lim_{y \to 0^+}}

(Nota de Tim: o limite está vindo da direita, já que x estava indo pro infinito positivo).

Eu prefiro esse arranjo, porque posso ver o lugar onde estamos aproximando (o papel aqui sempre acaba quando tento colocar a versão infinita num gráfico :-().

Por que limites não são usados com mais frequência?

Imagine uma criança que descobriu que “colocar um zero no final” faz de um número 10x maior. Tem 5? Escreva “5” e “0”, ou 50. Tem 100? Transforme-o em 1000. E assim em diante.

Ele não descobriu como a multiplicação funciona, por que essa regra é justificada… mas, você tem que admitir, ele com certeza pode multiplicar por 10. Claro que existem casos específicos (0 viraria “00”?), mas funciona bem na maioria das vezes.

As regras do cálculo foram descobertas informalmente (por padrões modernos). Newton deduziu que “A derivada de x^3 é 3x^2″ sem justificativa rigorosa. Ainda assim motores rodam e aviões voam baseados nos seus resultados não oficiais.

O erro da pedagogia do cálculo é criar um bloqueio na estrada dizendo “Você deve conhecer Limites™ antes de apreciar o cálculo”,  quando é evidente que os inventores do cálculo não conheciam. Eu prefiro essa progressão:

  • O Cálculo faz perguntas que parecem impossíveis: Quando é que retângulos podem medir uma curva? Podemos detectar mudança instantânea?
  • Limites nos dão uma estratégia para responder perguntas “impossíveis” (“Se você pode fazer uma previsão que aguenta um zoom infinito, diremos que está ok”)
  • Eles são um ótimo time: O cálculo explora, os limites verificam. Nós memorizamos atalhos para os resultados que verificamos com limites (d/dx x^3 = 3x^2), assim como memorizamos atalhos para as regras que verificamos com multiplicação (adicionar um zero significa vezes 10). Mas ainda é bom saber por que os atalhos são justificados.

Limites não são a única ferramenta para checar respostas de perguntas impossíveis; infinitésimos funcionam também. A chave é entender o que estamos tentando prever e depois aprender as regras para fazer previsões.

Matemática feliz.

(Tradução livre deste artigo, do BetterExplained)

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