Cálculo Pré-Histórico: Descobrindo Pi

O pi é misterioso. Ok, você “sabe” que ele é por volta de 3.14159 porque você leu em algum livro. Mas e se você não tivesse nenhum livro, nem computadores, e nem cálculo (putz!) – só o seu cérebro e um pedaço de papel. Como você poderia encontrar o pi?

Arquimedes encontrou o pi com exatidão de 99.9% dois mil anos atrás – sem pontos decimais ou até o número zero! Melhor ainda, ele concebeu técnicas que se tornaram as fundações do cálculo. Queria ter aprendido sua descoberta de pi na escola – ela nos ajuda a entender o que faz o cálculo funcionar.

Como encontramos o pi?

Pi é a circunferência de um círculo de diâmetro 1. Como conseguimos esse número?

  • Diga que pi = 3 e se contente com isso.
  • Desenhe um círculo com a mão, enrole uma corda ao redor dele e meça com sua melhor régua.
  • Use a terceira porta.

O que tem atrás da terceira porta? Matemática!

Como Arquimedes fez?

Arquimedes não sabia a circunferência de um círculo. Mas ele não se preocupou e começou com o que ele sabia: o perímetro de um quadrado. (Na verdade ele usou hexágonos, mas quadrados são mais fáceis de se trabalhar e desenhar, então iremos com eles, ok?).

Não sabemos a circunferência de um círculo, mas vamos desenhar ela entre dois quadrados:

Nhanha

Bacana – É como uma pista de corrida com bordas interiores e exteriores. Qualquer que seja a circunferência, ela está em algum lugar entre os perímetros dos quadrados. Mais do que o de dentro, menos do que o de fora.

E já que quadrados são, bem, quadrados, nós encontramos seus perímetros facilmente:

  • Quadrado de fora (fácil): lado = 1, logo perímetro = 4
  • Quadrado de dentro (não tão fácil): a diagonal é 1 (de cima pra baixo). Usando o Teorema de Pitágoras, lado2 + lado2 = 1, logo o lado = raiz(1/2) ou lado = 0.7. O perímetro, então, é 0.7 * 4 = 2.8.

Podemos não saber onde está o pi, mas sabemos que o bicho está correndo entre 2.8 e 4. Digamos que está no meio, ou pi = 3.4.

Quadrados são bobos, o negócio é usar octógonos

Estimamos que pi = 3.4, mas honestamente estaríamos melhores com a corda e a régua. O que faz a nossa tentativa tão ruim?

Quadrados são ruins. Eles não encaixam bem no círculo, e os espaços vazios resultam em um cálculo cheio de erros. Mas aumentar os lados (usando o mítico octógono, talvez), pode nos dar um encaixe e palpite melhores.

T

Legal! Quanto mais aumentamos os lados, mais perto ficamos da figura do círculo.

Então, qual é o perímetro de um octógono? Não tenho certeza se aprendi essa fórmula. Enquanto estamos nessa, poderíamos usar um 16-ágono e um 32-do-decágono. Quais são os perímetros deles mesmo?

Vixe, essas são perguntas complicadas. Felizmente, Arquimedes usou trigonometria criativa para conceber fórmulas para o perímetro de uma forma quando você dobra o número de lados:

  • Perímetro interno:  Um segmento da parte de dentro (como o lado do quadrado) é sin(x/2), onde x é o ângulo abrangendo um lado. Por exemplo, um lado do quadrado de dentro é sin(90/2) = sin(45) ~ 0.7. O perímetro inteiro é, então, 4 * 0.7 = 2.8
  • Perímetro externo: Um segmento da parte de fora é tan(x/2), onde x é o ângulo abrangendo um lado. Então, um segmento do perímetro de fora é tan(45) = 1, para um perímetro total de 4.

Bacana – temos uma fórmula simples! Adicionar mais lados diminui o ângulo:

  • Quadrados têm um perímetro interno de 4*sin(90/2).
  • Octógonos têm oito ângulos de 45 graus, para um perímetro interno de 8*sin(45/2).

Faça o teste – um quadrado (lados=4) tem 91% de exatidão, e com um octógono (lados=8) nós pulamos para 98%!

Mas tem um problema: Arquimedes não tinha uma calculadora com um botão “seno”!

Ao invés, ele usou identidades trigonométricas para reescrever seno e cosseno em termos de seus valores anteriores:

  • Novo perímetro exterior: bec1a4b278accf07fe6c08d2eb8f25b9 copy [média harmônica]
  • Novo perímetro interior: ae1fb0b89cd44b048b31a97088156b7e copy[média geométrica]

Essas fórmulas só usam aritmética – sem nenhuma trigonometria. Já que começamos com números conhecidos como raiz(2) e 1, nós podemos repetidamente aplicar essa fórmula para aumentar o número de lados e conseguir um palpite melhor para pi.

Falando nisso, essas médias especiais aparecem em lugares estranhos, né? Não tenho um bom pensamento intuitivo sobre as identidades trigonométricas envolvidas, então vamos deixar essa batalha para outro dia.

Pondo a fórmula pra funcionar

Começando com 4 lados (um quadrado), nós abrimos nosso caminho pra um pi melhor (baixe a planilha):
Nhe

A cada rodada nós dobramos os lados e diminuímos o alcance onde o pi poderia estar se escondendo. Vamos assumir que pi está no meio do limite interior e exterior.

Depois de 3 passos (32 lados), já temos uma exatidão de 99.9%. Depois de 7 passos (512 lados) nós temos os aclamados “cinco noves”. E depois de 17 passos, ou meio milhão de lados, nosso palpite para pi alcança o limite do Excel. Sua técnica não é nada mal, Arquimedes!

Infelizmente, decimais não tinham sido inventados em 250 AC, imagine planilhas. Então Arquimedes teve que dar seu jeito usando frações. Ele começou com hexágonos (6 lados) e continuou para 12, 24, 28, 96 até que ele tivesse suficiente (já tentou tirar raízes usando só frações?). Sua estimativa final para pi, usando uma figura de 96 lados, era:

d27014a4f9d58cfc4bfaefca7e93f8bf

O ponto do meio coloca pi em 3.14185, que é exato a mais de 99,9%.

Se você gosta de frações, a fração misterioramente simétrica 355/133 é uma estimativa extremamente precisa (99.99999%) de pi e foi a melhor que a humanidade teve por quase um milênio.

Algumas pessoas usam 22/7 para pi, mas agora você pode rir dizendo “22/7 é meramente o limite superior encontrado por Arquimedes 2000 anos atrás!”, enquanto ajusta seu monóculo.

Existem até fórmulas melhores por aí, também.

Onde está o cálculo?

Arquimedes não estava “fazendo cálculo”, mas ele contribuiu para o desenvolvimento de sua base: comece com um modelo rude (quadrados imitando um círculo) e refine-o.

O cálculo gira em torno destes temas:

  • Nós não sabemos a resposta, mas temos um palpite. Tivemos um palpite para pi: em algum lugar entre 2.8 e 4. O cálculo tem vários conceitos como a Série de Taylor para construir um palpite com variados graus de exatidão.
  • Vamos melhorar nosso palpite. Arquimedes descobriu que adicionar lados melhorou a estimativa. Existem métodos numéricos para refinar a fórmula de novo e de novo. Por exemplo, computadores podem começar com um palpite rude para a raiz quadrada e melhorá-lo.
  • Você pode corer mas não se esconder. Nós não sabíamos exatamente onde estava o pi, mas o encurralamos entre dois limites. Enquanto nós encolhemos os limites externos, nós sabíamos que o π estava se escondendo algum lugar lá dentro. Isso é conhecido formalmente como o “Teorema do Confronto“.
  • Pi é um ideal inalcançável. Encontrar o pi é um processo que nunca acaba. Quando vemos “π” na verdade significa “Quer perfeição? Bacana – todos querem alguma coisa. Só comece a aproximar e pare quando pi for bom suficiente”.

Direi novamente: Bom suficiente é bom suficiente. Uma figura com 96 lados foi exata suficiente para qualquer coisa que Arquimedes precisou de construir.

A ideia de que “aproximação importa” é estranha – a matemática não deveria ser precisa? A matemática é um modelo para descrever o mundo. Nossas equações não precisam ser afiadas como uma navalha se o universo e nossos instrumentos são imprecisos.

Lições de vida

Até na matemática podem ter lições de vida escondidas. Às vezes o melhor é o inimigo do bom. Perfeccionismo (“Eu quero o valor exato de pi!”) pode te impedir de achar resultados bons e usáveis.

Seja fazendo estimativas ou escrevendo software, talvez você possa começar com uma versão grosseira e melhorá-la com o tempo, sem se preocupar com o modelo perfeito (funcionou pra Arquimedes!). A maior parte da exatidão vem dos passos iniciais, e refinamentos futuros podem ser muito trabalho pra pouco ganho (o Princípio de Pareto em ação).

Ironicamente, as técnicas “rudes” vistas aqui levaram ao cálculo, que por sua vez levou a melhores fórmulas para o pi.

Lições de matemática

No cálculo muitas vezes falta uma base intuitiva – podemos contar maçãs pra testar aritmética, mas é difícil pensar sobre equações abstratas que são repetidamente refinadas.

A descoberta de pi de Arquimedes é um exemplo vívido e concreto pra nossa caixa de ferramentas. Assim como a geometria refina a nossa intuição sobre linhas e ângulos, o cálculo refina as regras de equações que ficam melhores com o tempo. Exemplos como esse nos ajudam a usar a intuição como ponto inicial, ao invés de aprender novas ideias em um vácuo.

Mais tarde, discutiremos o que significa estar “perto suficiente” pros números. Só se lembre que 96 lados foram bons suficiente para Arquimedes, e meio milhão de lados é bom suficiente pro Excel. Todos temos nossos limites.

(Tradução livre deste artigo, do Better Explained)

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